Um teste de múltipla escolha apresenta 4 opções por questão, e 14 questões. Se a aprovação depende de 9 ou mais respostas corretas:
a) qual a probabilidade de um estudante que responde no chute ser aprovado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um teste de múltipla escolha com 4 opções por questão e 14 questões no total. Para passar, o estudante precisa acertar pelo menos 9 questões. Queremos saber a probabilidade de um estudante que está “chorando” (ou seja, usando apenas o chute) conseguir aprovação.
Vamos precisar usar a Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (neste caso, acertos) em um número fixo de tentativas (as 14 questões), onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: sucesso (certo) ou fracasso (errado).
As fórmulas que vamos usar são:
  • Probabilidade de sucesso em uma questão: $ p = \frac{1}{4} $ (já que há 4 opções).
  • Número de questões: $ n = 14 $.
  • Número de acertos necessários para aprovação: $ k \geq 9 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial, que é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Aqui:
  • $ \binom{n}{k} $ é a combinação que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ acertos em $ n $ questões.
  • $ p^{k} $ é a probabilidade de acertar exatamente $ k $ questões.
  • $ (1-p)^{n-k} $ é a probabilidade de errar as outras $ n - k $ questões.

Passo 3

Queremos a probabilidade de acertar 9 ou mais questões. Isso significa que vamos somar as probabilidades de acertar 9, 10, 11, 12, 13 e 14 questões. Então, a probabilidade total $ P $ será:
P

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Distribuição Binomial.
Por exemplo, para $ k = 9 $:
k = 9
Fazendo isso para $ k = 9 $ até $ k = 14 $ e somando os resultados, teremos a probabilidade total.

Passo 5

Na prática, calcular cada termo manualmente pode ser trabalhoso, então geralmente usamos uma calculadora científica ou software específico para encontrar essas probabilidades. Após calcular e somar todas as probabilidades de $ k = 9 $ a $ k = 14 $, obtemos o valor total.

Resposta

A probabilidade de um estudante que responde no chute ser aprovado é aproximadamente 0,0005%.

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