Uma equipe de engenharia está interessada em comparar o consumo médio de energia (em kWh) de dois modelos de aparelhos de ar-condicionado, Modelo A e Modelo B, para avaliar qual é mais eficiente. Como os aparelhos são de fabricantes diferentes. Abaixo estão os dados amostrais de consumo de energia para ambos os modelos:
Dados para Modelo A (em kWh): 32, 30, 28, 35, 29, 31, 33, 30, 27, 28, 32, 31, 29, 30, 34
Dados para Modelo B (em kWh): 35, 37, 36, 34, 38, 40, 35, 39, 37, 36, 38, 35, 37, 39, 40
Com um nível de significância de 5 \%, é possível concluir que o consumo médio de energia do modelo A é mais eficiente (menor consumo) do que o modelo B de ar-condicionado?
Sugestão: Como nada se sabe sobre as variâncias populacionais, realize primeiro um teste de hipótese para testar a igualdade das variâncias ao nível de significância de 5 \%. Com base nisso, proceda a realizar o teste de hipóteses para as médias populacionais.

Passo 1

O enunciado pede para comparar o consumo médio de energia dos modelos A e B e verificar, ao nível de significância de 5\%, se o modelo A consome menos do que o modelo B. Como não conhecemos as variâncias populacionais, primeiro vamos testar a igualdade das variâncias com um teste F. Se aceitarmos variâncias iguais, faremos então um teste t de duas amostras com variância conjunta.

Passo 2

Calcular médias amostrais e variâncias amostrais de cada modelo.
Para o Modelo A, com n_A=15, somatório \sum x_{A}=459 e \sum x_{A}^{2}=14119, temos
\bar x_{A} = \frac{459}{15} = 30,6,
S_{A}^{2} = \frac{\sum x_{A}^{2} - n_{A}\,\bar x_{A}^{2}}{n_{A}-1} = \frac{14119 - 15\,(30,6)^{2}}{14} \approx 5,257.
Para o Modelo B, com n_B=15, somatório \sum x_{B}=556 e \sum x_{B}^{2}=20660, temos
\bar x_{B} = \frac{556}{15} \approx 37,07,
S_{B}^{2} = \frac{\sum x_{B}^{2} - n_{B}\,\bar x_{B}^{2}}{n_{B}-1} = \frac{20660 - 15\,(37,07)^{2}}{14} \approx 3,638.

Passo 3

Teste F de igualdade de variâncias:
Hipóteses
H_{0}: \sigma_{A}^{2} = \sigma_{B}^{2}, \quad H_{1}: \sigma_{A}^{2} \neq \sigma_{B}^{2}.
Estatística
F = \frac{S_{A}^{2}}{S_{B}^{2}} = \frac{5,257}{3,638} \approx 1,445,
com graus de liberdade (14,14). Para \alpha=0,05 em teste bilateral, os valores críticos são
F_{0,975}(14,14)\approx 2{,}9 \quad\text{e}\quad F_{0,025}(14,14)=\frac{1}{F_{0,975}(14,14)}\approx 0{,}345.
Como
0{,}345 < 1,445 < 2{,}9,
não rejeitamos H_{0}. Logo, podemos assumir variâncias iguais.

Passo 4

Teste t com variância conjunta para comparar médias (uma via à esquerda):
Hipóteses
H_{0}: \mu_{A} - \mu_{B} = 0, \quad H_{1}: \mu_{A} - \mu_{B} < 0.
Variância conjunta
S_{p}^{2} = \frac{(n_A -1)S_A^{2} + (n_B-1)S_B^{2}}{n_A + n_B -2} = \frac{14\cdot5,257 + 14\cdot3,638}{28} \approx 4,447,
S_{p} \approx 2,109, \quad \text{erro padrão }SE = S_{p}\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}} =2,109\sqrt{\frac{2}{15}} \approx 0,770.ã
Estatística
t = \frac{\bar x_{A} - \bar x_{B}}{SE} = \frac{30,6 - 37,07}{0,770} \approx -8,40,
com 28 graus de liberdade. O valor crítico para um teste à esquerda a 5\% é
t_{0,05}(28)\approx -1,701.
Como -8,40 < -1,701, rejeitamos H_{0}.

Resposta

Sim. Ao nível de significância de 5\%, o teste indica que o consumo médio do Modelo A é significativamente menor que o do Modelo B, mostrando que o Modelo A é mais eficiente em consumo de energia.

Exercícios relacionados