Em um estudo para comparar os efeitos de duas dietas, A e B , sobre o crescimento, 6 ratos foram submetidos à dieta A , e 9 ratos à dieta B . Após 1 semana, os ganhos em peso (\mathrm{g}) foram:
\mathbf{A} 15 20 12 10 14 15
\mathbf{B} 11 11 12 13 12 13 8 10 13
Admitindo que temos duas amostras independentes de populações normais, teste a hipótese de que não há diferença entre as duas dietas, contra a alternativa de que as dietas são diferentes, usando o teste t de Student, no nível de \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de populações normais com tamanhos n_{A}=6 e n_{B}=9, e quer testar
H_{0}:\mu_{A}=\mu_{B} \quad\text{versus}\quad H_{1}:\mu_{A}\neq\mu_{B}
ao nível de significância \alpha=0,05, usando o teste t de Student com variâncias assumidas iguais.

Passo 2

Calcular as médias amostrais \bar{x}_{A} e \bar{x}_{B}.
\bar{x}_{A} =\frac{15+20+12+10+14+15}{6} =\frac{86}{6} =14{,}3333
\bar{x}_{B} =\frac{11+11+12+13+12+13+8+10+13}{9} =\frac{103}{9} =11{,}4444

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais s_{A}^{2} e s_{B}^{2} pelas fórmulas
s_{A}^{2} =\frac{1}{n_{A}-1}\sum_{i=1}^{n_{A}}(x_{Ai}-\bar{x}_{A})^{2} \approx\frac{57{,}333}{5} =11{,}4667
s_{B}^{2} =\frac{1}{n_{B}-1}\sum_{i=1}^{n_{B}}(x_{Bi}-\bar{x}_{B})^{2} \approx\frac{22{,}227}{8} =2{,}7784

Passo 4

Como assumimos variâncias iguais, calculamos a variância agrupada
s_{p}^{2} =\frac{(n_{A}-1)s_{A}^{2}+(n_{B}-1)s_{B}^{2}}{n_{A}+n_{B}-2} =\frac{5\cdot11{,}4667 + 8\cdot2{,}7784}{6+9-2} \approx\frac{79{,}5607}{13} =6{,}1201
e o erro padrão da diferença de médias
\mathrm{EP} =s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{A}}+\frac{1}{n_{B}}} =\sqrt{6{,}1201}\,\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{1}{9}} \approx2{,}472\cdot0{,}5270 =1{,}3020

Passo 5

O estatístico de teste é
t =\frac{\bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}}{\mathrm{EP}} =\frac{14{,}3333 - 11{,}4444}{1{,}3020} \approx2{,}2197
com n_{A}+n_{B}-2=13 graus de liberdade. O valor crítico para \alpha/2=0,025 é
t_{0{,}975,\,13}\approx2{,}1604.
Como \lvert t\rvert=2{,}2197>2{,}1604, rejeitamos H_{0}.

Resposta

Rejeita-se H_{0} ao nível de 5\%. Há evidência de diferença significativa entre as dietas A e B.

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