Está se estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes (que supõe-se normalmente distribuída). Por meio de uma amostra aleatória de tamanho igual a 9 deseja-se realizar alguns testes e construção de intervalos de confiança (todos com 90% de confiança).
c) Suponha que o investigador desconheça a variância populacional. Realize o teste de hipóteses H0: sigma^2 <= 9 cm^2 / s^2 versus H1: sigma^2>9 cm^2 / s^2. Utilize o desvio padrão amostral s=3 cm / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está estudando a taxa de queima de um propulsor de foguete, que segue uma distribuição normal. O exercício pede para a gente realizar um teste de hipóteses sobre a variância dessa distribuição. A gente tem uma amostra de tamanho 9, com desvio padrão amostral $ s = 3 $ cm/s, e quer testar se a variância populacional é maior que $ 9 $ cm²/s², com 90% de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipóteses. Basicamente, a gente tem uma hipótese inicial, chamada de hipótese nula ($ H_0 H0 ó H_1 $). Queremos usar os dados da nossa amostra para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.
No nosso caso:
  • Hipótese nula ($ H_0 $): $ \sigma^2 \leq 9 $ cm²/s²
  • Hipótese alternativa ($ H_1 $): $ \sigma^2 > 9 $ cm²/s²

Passo 3

Como a variância populacional $ \sigma^2 $ é desconhecida e a amostra segue uma distribuição normal, vamos usar o teste qui-quadrado ($ \chi^2 $) para testar a hipótese. A fórmula para o teste é:
sigma^2
onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra (nesse caso, 9),
  • $ s^2 $ é a variância amostral,
  • $ \sigma_0^2 $ é a variância sob a hipótese nula (9 cm²/s²).

Passo 4

Vamos calcular a estatística do teste:
chi^2 = (9 - 1) times 99 = 8 times 99 = 8
Então, nossa estatística qui-quadrado é 8.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para 8 graus de liberdade ($ df = n - 1 = 8 $) com um nível de significância de 10% (já que a confiança é de 90%).
Procurando em uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora, o valor crítico para $ \chi^2 $ com 8 graus de liberdade e 90% de confiança é aproximadamente 12,40.

Passo 6

Comparamos a nossa estatística de teste ($ \chi^2 = 8 $) com o valor crítico (12,40):
  • Se $ \chi^2 > 12,40 $, rejeitamos $ H_0 $.
  • Se $ \chi^2 \leq 12,40 $, não rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, 8 é menor que 12,40. Então, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para concluir que a variância da taxa de queima do propulsor é maior que $ 9 $ cm²/s² com 90% de confiança.

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