Está se estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes (que supõe-se normalmente distribuída). Por meio de uma amostra aleatória de tamanho igual a 9 deseja-se realizar alguns testes e construção de intervalos de confiança (todos com 90% de confiança).
c) Suponha que o investigador desconheça a variância populacional. Realize o teste de hipóteses
versus
. Utilize o desvio padrão amostral
.
c) Suponha que o investigador desconheça a variância populacional. Realize o teste de hipóteses
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está estudando a taxa de queima de um propulsor de foguete, que segue uma distribuição normal. O exercício pede para a gente realizar um teste de hipóteses sobre a variância dessa distribuição. A gente tem uma amostra de tamanho 9, com desvio padrão amostral $ s = 3 $ cm/s, e quer testar se a variância populacional é maior que $ 9 $ cm²/s², com 90% de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipóteses. Basicamente, a gente tem uma hipótese inicial, chamada de hipótese nula ($ H_0
H_1 $). Queremos usar os dados da nossa amostra para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.
No nosso caso:
- Hipótese nula ($ H_0 $): $ \sigma^2 \leq 9 $ cm²/s²
- Hipótese alternativa ($ H_1 $): $ \sigma^2 > 9 $ cm²/s²
Passo 3
Como a variância populacional $ \sigma^2 $ é desconhecida e a amostra segue uma distribuição normal, vamos usar o teste qui-quadrado ($ \chi^2 $) para testar a hipótese. A fórmula para o teste é:
onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra (nesse caso, 9),
- $ s^2 $ é a variância amostral,
- $ \sigma_0^2 $ é a variância sob a hipótese nula (9 cm²/s²).
Passo 4
Vamos calcular a estatística do teste:
Então, nossa estatística qui-quadrado é 8.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para 8 graus de liberdade ($ df = n - 1 = 8 $) com um nível de significância de 10% (já que a confiança é de 90%).
Procurando em uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora, o valor crítico para $ \chi^2 $ com 8 graus de liberdade e 90% de confiança é aproximadamente 12,40.
Passo 6
Comparamos a nossa estatística de teste ($ \chi^2 = 8 $) com o valor crítico (12,40):
- Se $ \chi^2 > 12,40 $, rejeitamos $ H_0 $.
- Se $ \chi^2 \leq 12,40 $, não rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, 8 é menor que 12,40. Então, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para concluir que a variância da taxa de queima do propulsor é maior que $ 9 $ cm²/s² com 90% de confiança.