Uma equipe pretende colocar um satélite de massa 800 kg em órbita circular em torno da Terra, a uma altura de 500 km acima da superfície terrestre. Sabendo que o raio da Terra é RT=6,4 times 10^6 m e a massa da Terra é mT=6,0 times 10^24 kg,) (a) qual o trabalho necessário para colocar esse satélite em órbita? (b) qual a velocidade, o período e a aceleração orbital desse satélite?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer colocar um satélite de massa m=800 kg numa órbita circular a h=500 km=5,0times10^5 m acima da superfície da Terra. A Terra tem raio RT=6,4times10^6 m e massa MT=6,0times10^24 kg.
Conteúdo: energia mecânica na gravitação (energia potencial e cinética) e movimento circular (velocidade, período e aceleração centrípeta).
O que vamos precisar:
  • Constante gravitacional G=6,67times10^-11 m^3!/!(kgcdot s^2).
  • Fórmulas de energia potencial gravitacional U=-G,MT,mr e cinética K=12 m v^2.
  • Fórmulas de órbita circular: v=raizG,MTr, T=2pi rv e a=v^2r.

Passo 2

Calcular o trabalho externo necessário (que é a variação da energia mecânica total).
  1. Definimos raio inicial r1=RT e raio final r2=RT+h.
  2. Energia potencial inicial:
U1 = -G,MT,mr1,
  1. Energia mecânica inicial (satélite parado):
E1 = U1,
  1. Energia potencial final:
U2 = -G,MT,mr2,
  1. Velocidade orbital v=raizG,MTr2. Aí a energia cinética final é
K2 = 12,m,v^2 = 12,m,G,MTr2,
  1. Energia mecânica final:
E2 = U2 + K2 = -G,MT,mr2 + 12,G,MT,mr2 = -12,G,MT,mr2,
  1. Trabalho externo W = E2 - E1:
W = -12G,MT,mr2 - l(-G,MT,mr1r) = G,MT,m!l(1r1-12,r2r)

Passo 3

Calcular a velocidade orbital v.
Na órbita circular, a força gravitacional faz o papel de força centrípeta, e a condição é
m,v^2r2 = G,MT,mr2^2 Longrightarrow v = raizG,MTr2

Passo 4

Calcular o período T.
O período é o tempo para dar uma volta completa:
T = comprimento da órbitavelocidade = 2pi,r2v ó

Passo 5

Calcular a aceleração centrípeta a.
Na órbita, a aceleração é
a = v^2r2

Resposta

Utilizando r2=6,4times10^6+5,0times10^5=6,9times10^6 m, G=6,67times10^-11, MT=6,0times10^24, m=800:
  • Trabalho necessário:
W approx 2,7times10^10 J
  • Velocidade orbital:
v approx 7,6times10^3 m/s
  • Período orbital:
T approx 5,7times10^3 s (approx95 min)
  • Aceleração centrípeta:
a approx 8,4 m/s^2

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