Um hipotético asteróide move-se em uma órbita elítica, conforme a primeira lei de Kepler, em torno do Sol. Durante sua passagem pelo aféliio, sua distância ao Sol é de 5,0 times 10^10 km; enquanto que no periélio é 5,0 times 10^8 km. Calcule o periodo orbital do satélite em anos e sua excentricidade em m . (Dado: massa do sol ms= 1,99 times 10^30 kg )

Passo 1

Beleza, então o exercício fala de um asteróide que faz uma órbita elíptica (1ª lei de Kepler) em torno do Sol. Aí ele passa no afélio a uma distância
Q = 5,0times10^10,km
e no periélio a
q = 5,0times10^8,km,
A gente precisa achar o período orbital T em anos e a excentricidade e. Pra isso vamos usar:
  1. Conversão de km para m ( 1,km=10^3,m).
  2. Definição de semieixo maior a=(Q+q)/2.
  3. Definição de excentricidade e=(Q-q)/(Q+q).
  4. 3ª lei de Kepler (Newton):
T^2 ;=;4pi^2,a^3G,Modot,,
onde G=6,67times10^-11,m^3,kg^-1,s^-2 e
Modot=1,99times10^30,kg.

Passo 2

Primeiro, converter Q e q para metros:
Q = 5,0times10^10,kmtimes10^3 = 5,0times10^13,m, q = 5,0times10^8,kmtimes10^3 = 5,0times10^11,m
Agora o semieixo maior a é metade do eixo maior da elipse, ou seja
a = Q+q2 = 5,0times10^13 + 5,0times10^112 = 2,525times10^13,m

Passo 3

A excentricidade e mede o “alongamento” da elipse e se define por
e = Q - qQ + q = 5,0times10^13 - 5,0times10^115,0times10^13 + 5,0times10^11 approx 0,98
(Se e=0 é círculo; quanto mais perto de 1, mais esticada a elipse.)

Passo 4

Aplicar a 3ª lei de Kepler na forma de Newton:
T^2 = 4pi^2,a^3G,Modot
Calculemos a^3 e depois T:
a^3 = (2,525times10^13)^3 approx 1,61times10^40,m^3,
T^2 approx 4pi^2 times 1,61times10^406,67times10^-11times1,99times10^30 approx 4,79times10^21,s^2,
T approx raiz4,79times10^21 approx 6,92times10^10,s
Pra virar anos, usa 1,anoapprox3,156times10^7,s:
T approx 6,92times10^103,156times10^7 approx 2,19times10^3,anos

Resposta

T approx 2,2times10^3 anos e e approx 0,98.

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