Era meio-dia em um dia frio de dezembro em Tampa: 16^circ C. O detetive Taylor chegou a cena do crime e encontrou o sargento inclinado sobre o corpo. O sargento disse que havia vários suspeitos. Se eles soubessem a hora exata da morte, então poderiam reduzir a lista. O detetive Taylor apanhou um termômetro e mediu a temperatura do corpo: 34,5^circ C. Depois, saiu para almoçar. Ao retornar às 13 h , descobriu que a temperatura do corpo era de 33,7^circ C. Qaundo ocorreu o assassinato? [Dica: a temperatura normal do corpo é 37^circ C.]

Passo 1

O enunciado envolve o resfriamento de um corpo segundo a lei de Newton do resfriamento. Temos:
– Temperatura ambiente ,Ts = 16^circC.
– Temperatura normal do corpo no momento da morte ,T0 = 37^circC.
– Às 12h o corpo está a 34,5^circC.
– Às 13h o corpo está a 33,7^circC.
Queremos achar o instante da morte (quando T=T0).

Passo 2

Segundo Newton do resfriamento, se t é o tempo em horas desde a morte, então
T(t)=Ts + l(T0 - Tsr),e^-k,t,
onde k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

No instante das 12h chamemos esse tempo de t1. Então
34,5 = 16 + (37 - 16),e^-k,t1 Longrightarrow e^-k,t1 = 34,5 - 1621 = 18,521

Passo 4

Uma hora depois, às 13h, o tempo desde a morte é t1 + 1. Assim
33,7 = 16 + 21,e^-k,(t1+1) Longrightarrow e^-k,(t1+1) = 33,7 - 1621 = 17,721
Dividindo as duas expressões:
e^-k,(t1+1)e^-k,t1 =e^-k =tfrac17,721tfrac18,521 =17,718,5

Passo 5

Logo
e^-k = 17,718,5 Longrightarrow k = -ln!gl(17,718,5gr)
Numericamente,
17,718,5approx0,95676 Longrightarrow kapprox -ln(0,95676)approx0,04499;h^-1

Passo 6

Para achar t1, usamos
e^-k,t1 = 18,521 Longrightarrow t1 = -1kln!gl(18,521gr)
Substituindo kapprox0,04499,
t1 approx -10,04499ln(0,880952) approx 2,82;h

Passo 7

Isso significa que a morte ocorreu cerca de 2,82 horas antes do meio-dia, ou seja,
2,82;h = 2;h + 0,82times60;minapprox2;h49;min
Portanto, o assassinato se deu por volta das 12!:!00 - 2!:!49 = 9!:!11.

Resposta

O homicídio ocorreu aproximadamente às 9h 11 da manhã.

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