Uma xícara de café quente a 95^circ C resfria para 80^circ C em 5 minutos enquanto está em uma sala com temperatura de 21^circ C. Usando a lei de resfriamento de Newton, determine quando a temperatura do café estará em agradáveis 50^circ C.

Passo 1

O enunciado envolve a lei de resfriamento de Newton, que modela a temperatura T(t) de um corpo em um ambiente de temperatura constante Ta por meio da equação diferencial
dTdt=-kl(T-Tar),
onde k>0 é a constante de resfriamento. Aqui temos: temperatura inicial T(0)=95^circ C, temperatura ambiente Ta=21^circ C e informação de que T(5)=80^circ C. Queremos achar o instante t tal que T(t)=50^circ C.

Passo 2

Para resolver a equação diferencial, lembramos que ela é linear e homogênea em T-Ta. A solução geral é
T(t)=Ta+l(T(0)-Tar),e^-k t
Substituindo T(0)=95 e Ta=21, obtemos
T(t)=21+(95-21),e^-k t =21+74,e^-k t

Passo 3

Usamos a condição T(5)=80 para determinar k. Temos
80 = 21 + 74,e^-5k Longrightarrow 59 = 74,e^-5k Longrightarrow e^-5k = 5974
Tomando logaritmo natural,
-5k = ln!l(tfrac5974r) Longrightarrow k = -15,ln!l(tfrac5974r) =15ln!l(tfrac7459r)approx0,0452 min^-1

Passo 4

Agora impomos T(t)=50. Assim,
50 = 21 + 74,e^-0,0452,t Longrightarrow 29 = 74,e^-0,0452,t Longrightarrow e^-0,0452,t = 2974
Tomando logaritmo natural,
-0,0452,t = ln!l(tfrac2974r) Longrightarrow t = -10,0452,ln!l(tfrac2974r) approx20,7 min

Resposta

O café atingirá 50^circ C aproximadamente após 20,7 minutos.

Exercícios relacionados