Um objeto com massa 5 kg é lançado do repuso 1.000 m acima do solo e é deixado cair sob influencia da gravidade. Considerando que a força causada pela resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto com constante de proporcionalidade
, determine a equação do movimento do objeto. Quando ele alcançará o solo? [Considere a força da gravidade como
ou
]
Passo 1
O problema descreve um objeto de massa
,kg largado do repouso a
,m de altura, sujeito \u00e0 gravidade
,m/
e a uma for\u00e7a de arrasto proporcional \u00e0 velocidade,
com
,
/m.
Conte\u00fado: Segunda Lei de Newton e resolu\u00e7\u00e3o de ODE linear de \u00aa ordem para obter
e depois
.
Conte\u00fado: Segunda Lei de Newton e resolu\u00e7\u00e3o de ODE linear de
Passo 2
Escolhendo para baixo o sentido positivo, temos as forças na direção do movimento: peso
para baixo e arrasto
para cima. Pela
ª Lei de Newton,
Passo 3
Reescrevendo a ODE em forma padrão,
A solução geral é a soma da homogênea e de uma particular. A solução particular constante é
. A homogênea é
.
Impondo , obtemos
Impondo
Substituindo
,
,
:
logo
Passo 4
Para obter a posição
medida do ponto de soltura (para baixo positiva), integramos:
Fazendo a integral,
Passo 5
O solo \u00e9 atingido quando
,m, ou seja,
Essa equa\u00e7\u00e3o transcendente pode ser resolvida numericamente. Aproximando
para grande
, obtemos
e refinando o c\u00e1lculo (por itera\u00e7\u00e3o) chega-se a
Resposta
Equação da velocidade:
Equação da posição (descida desde
até
):
Tempo para atingir o solo: