Um objeto com massa 5 kg é lançado do repuso 1.000 m acima do solo e é deixado cair sob influencia da gravidade. Considerando que a força causada pela resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto com constante de proporcionalidade b=50 N-s / m, determine a equação do movimento do objeto. Quando ele alcançará o solo? [Considere a força da gravidade como g=9,81 m / s^2 ou g=32 pés / s^2é ]

Passo 1

O problema descreve um objeto de massa m=5,kg largado do repouso a 1.000,m de altura, sujeito \u00e0 gravidade g=9,81,m/ s^2 e a uma for\u00e7a de arrasto proporcional \u00e0 velocidade, Frm arrasto=-b,v com b=50, Ncdot s/m.
Conte\u00fado: Segunda Lei de Newton e resolu\u00e7\u00e3o de ODE linear de 1\u00aa ordem para obter v(t) e depois y(t).

Passo 2

Escolhendo para baixo o sentido positivo, temos as forças na direção do movimento: peso +mg para baixo e arrasto -b,v para cima. Pela 2ª Lei de Newton,
m,dvdt = mg - b,v

Passo 3

Reescrevendo a ODE em forma padrão,
dvdt + bm,v = g
A solução geral é a soma da homogênea e de uma particular. A solução particular constante é vp = mgb. A homogênea é vh = C e^-,bmt.
Impondo v(0)=0, obtemos
v(t) = mgbl(1 - e^-tfracbmtr)
Substituindo m=5, b=50, g=9,81:
bm=10, mgb=5cdot9,8150=0,981,
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v(t)=0,981;l(1 - e^-10tr)(m/s)

Passo 4

Para obter a posição y(t) medida do ponto de soltura (para baixo positiva), integramos:
y(t)=integral0^tv(s),ds =integral0^t0,981l(1-e^-10sr),ds
Fazendo a integral,
y(t) =0,981l[t + tfrac110,e^-10t - tfrac110r] =0,981,t -0,0981 +0,0981,e^-10t

Passo 5

O solo \u00e9 atingido quando y(ts)=1.000,m, ou seja,
0,981,ts -0,0981 +0,0981,e^-10ts=1000
Essa equa\u00e7\u00e3o transcendente pode ser resolvida numericamente. Aproximando e^-10tsapprox0 para grande ts, obtemos
tsapprox10000,981approx1019,0 s,
e refinando o c\u00e1lculo (por itera\u00e7\u00e3o) chega-se a
tsapprox1019,2 s

Resposta

Equação da velocidade:
v(t)=0,981;l(1 - e^-10tr)(m/s)
Equação da posição (descida desde 0 até y):
y(t)=0,981,t -0,0981 +0,0981,e^-10t(m)
Tempo para atingir o solo:
tsapprox1019,2 s (approx17 min)

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