Um objeto com massa de 5 kg recebe uma velocidade inicial para baixo de
depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força em newtons causada pela resistência do ar seja -10v, onde vé a velocidade do objeto em
.
Determine a equação do movimento do objeto. Se estiver inicialmente 500 m acima do solo, determine quando o objeto atingirá o solo. [Considere a força da gravidade como
ou
]
Determine a equação do movimento do objeto. Se estiver inicialmente 500 m acima do solo, determine quando o objeto atingirá o solo. [Considere a força da gravidade como
Passo 1
O enunciado nos dá um objeto de massa
kg lançado para baixo com velocidade inicial
m/s a partir de
m de altura. A força resultante é a gravidade para baixo (
) e a resistência do ar
. Vamos usar a
ª lei de Newton para obter uma EDO de
ª ordem e encontrar as funções velocidade
e posição
, e depois calcular o instante em que a altura acima do solo zera.
Passo 2
Escolhendo para baixo direção positiva, a
ª lei de Newton dá
Como
kg e
m/
, dividindo por
obtemos
Passo 3
Essa é uma EDO linear: o fator integrante é
. A solução geral é
onde o equilíbrio
satisfaz
, logo
m/s. Usando
m/s, encontramos
portanto
Passo 4
A posição medida desde o ponto de lançamento,
, é dada por
Simplificando,
Como a altura inicial é
m, a altura acima do solo é
Passo 5
O impacto ocorre quando
, ou seja
. Temos que resolver
numericamente. Por tentativa e erro ou método de Newton chega-se a
Resposta
A equação do movimento é
e o objeto atinge o solo em aproximadamente
s.