Um objeto com massa de 5 kg recebe uma velocidade inicial para baixo de 50 m / s e depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força em newtons causada pela resistência do ar seja -10v, onde vé a velocidade do objeto em m / s.
Determine a equação do movimento do objeto. Se estiver inicialmente 500 m acima do solo, determine quando o objeto atingirá o solo. [Considere a força da gravidade como g=9,81 m / s^2 ou g=32 pés / s^2é ]

Passo 1

O enunciado nos dá um objeto de massa 5 kg lançado para baixo com velocidade inicial v(0)=50 m/s a partir de 500 m de altura. A força resultante é a gravidade para baixo ( m,g) e a resistência do ar Fr=-10,v. Vamos usar a 2ª lei de Newton para obter uma EDO de 1ª ordem e encontrar as funções velocidade v(t) e posição s(t), e depois calcular o instante em que a altura acima do solo zera.

Passo 2

Escolhendo para baixo direção positiva, a 2ª lei de Newton dá
mdvdt = m,g - 10,v
Como m=5 kg e g=9,81 m/ s^2, dividindo por m obtemos
dvdt + 105,v = 9,81 Longrightarrow dvdt + 2,v = 9,81

Passo 3

Essa é uma EDO linear: o fator integrante é e^2t. A solução geral é
v(t) = Ce^-2t + vinfty,
onde o equilíbrio vinfty satisfaz 2,vinfty=9,81, logo vinfty=4,905 m/s. Usando v(0)=50 m/s, encontramos
C = v(0)-vinfty = 50 - 4,905 = 45,095,
portanto
boxedv(t) = 4,905 + 45,095,e^-2t(m/s, para baixo)

Passo 4

A posição medida desde o ponto de lançamento, s(0)=0, é dada por
s(t) = integral0^t v(tau),dtau = integral0^tl(4,905 + 45,095,e^-2taur)dtau = 4,905,t + 45,0952l(1 - e^-2tr)
Simplificando,
boxeds(t) = 4,905,t + 22,5475,(1 - e^-2t)(m descidos)
Como a altura inicial é 500 m, a altura acima do solo é
h(t) = 500 - s(t)

Passo 5

O impacto ocorre quando h(t)=0, ou seja s(t)=500. Temos que resolver
4,905,t + 22,5475,(1 - e^-2t) = 500
numericamente. Por tentativa e erro ou método de Newton chega-se a
boxedt approx 97,3 s

Resposta

A equação do movimento é
v(t) = 4,905 + 45,095,e^-2te s(t) = 4,905,t + 22,5475,(1 - e^-2t),
e o objeto atinge o solo em aproximadamente 97,3 s.

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