Qual o erro máximo cometido na aproximação da integral integral0^4(3 x^2-3 x+1) d x pela regra de Simpson com 9 subintervalos. Para calcular o erro, calcule o valor analítico da integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o erro máximo na aproximação da integral integral0^4(3 x^2-3 x+1) dx usando a regra de Simpson com 9 subintervalos. Para isso, primeiro precisamos encontrar o valor exato dessa integral. Vamos usar conceitos de cálculo integral e a regra de Simpson para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor analítico da integral integral0^4(3 x^2-3 x+1) dx. Isso significa que vamos encontrar o valor exato dessa área sob a curva.

Passo 3

Para integrar a função 3x^2 - 3x + 1, vamos integrar termo a termo:
integral (3x^2 - 3x + 1) dx = integral 3x^2 dx - integral 3x dx + integral 1 dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo:
integral 3x^2 dx = 3 cdot x^33 = x^3
integral 3x dx = 3 cdot x^22 = 3x^22
integral 1 dx = x

Passo 5

Juntando tudo, a integral fica:
integral (3x^2 - 3x + 1) dx = x^3 - 3x^22 + x + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 4, o constante C não precisa ser considerado.

Passo 6

Vamos avaliar a primitiva nos limites de 4 e 0:
[ x^3 - 3x^22 + x ]0^4 = (4^3 - 3 cdot 4^22 + 4) - (0 - 0 + 0)

Passo 7

Calculando cada parte:
4^3 = 64
3 cdot 4^22 = 3 cdot 162 = 482 = 24
Rightarrow 64 - 24 + 4 = 44

Passo 8

Então, o valor exato da integral é 44.

Passo 9

Agora, vamos falar sobre a regra de Simpson e o erro máximo. A regra de Simpson é muito eficiente para polinômios até o terceiro grau. Ela aproxima a integral usando parábolas que passam por pontos específicos da função.

Passo 10

O erro na regra de Simpson é dado pela fórmula:
E <= K(b - a)^5180 n^4
Onde:
  • K é o valor máximo da quarta derivada da função no intervalo [a, b].
  • n é o número de subintervalos.

Passo 11

Vamos analisar a função f(x) = 3x^2 - 3x + 1. Calculando as derivadas:
f'(x) = 6x - 3
f''(x) = 6
f'''(x) = 0
f''''(x) = 0

Passo 12

Como a quarta derivada f''''(x) é 0 em todo o intervalo, o valor de K também é 0.

Passo 13

Substituindo na fórmula do erro:
E <= 0 cdot (4 - 0)^5180 cdot 9^4 = 0

Passo 14

Portanto, o erro máximo na aproximação da integral pela regra de Simpson com 9 subintervalos é zero. Isso acontece porque a regra de Simpson calcula exatamente integrais de polinômios de até terceiro grau, e nossa função é de segundo grau.

Resposta

O erro máximo cometido na aproximação da integral pela regra de Simpson com 9 subintervalos é zero.

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