Qual o erro máximo cometido na aproximação da integral
pela regra de Simpson com 9 subintervalos. Para calcular o erro, calcule o valor analítico da integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o erro máximo na aproximação da integral
usando a regra de Simpson com 9 subintervalos. Para isso, primeiro precisamos encontrar o valor exato dessa integral. Vamos usar conceitos de cálculo integral e a regra de Simpson para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor analítico da integral
. Isso significa que vamos encontrar o valor exato dessa área sob a curva.
Passo 3
Para integrar a função
, vamos integrar termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo:
Passo 5
Juntando tudo, a integral fica:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 4, o constante
não precisa ser considerado.
Passo 6
Vamos avaliar a primitiva nos limites de 4 e 0:
Passo 7
Calculando cada parte:
Passo 8
Então, o valor exato da integral é 44.
Passo 9
Agora, vamos falar sobre a regra de Simpson e o erro máximo. A regra de Simpson é muito eficiente para polinômios até o terceiro grau. Ela aproxima a integral usando parábolas que passam por pontos específicos da função.
Passo 10
O erro na regra de Simpson é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o valor máximo da quarta derivada da função no intervalo . -
é o número de subintervalos.
Passo 11
Vamos analisar a função
. Calculando as derivadas:
Passo 12
Como a quarta derivada
é 0 em todo o intervalo, o valor de
também é 0.
Passo 13
Substituindo na fórmula do erro:
Passo 14
Portanto, o erro máximo na aproximação da integral pela regra de Simpson com 9 subintervalos é zero. Isso acontece porque a regra de Simpson calcula exatamente integrais de polinômios de até terceiro grau, e nossa função é de segundo grau.
Resposta
O erro máximo cometido na aproximação da integral pela regra de Simpson com 9 subintervalos é zero.