Erro relativo de x é o módulo do quociente entre o erro absoluto E A_{x} e o valor exato x ou o valor aproximado \bar{x}, se x ou \bar{x} \neq 0.
Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b).
x=1,5 е \bar{x}=1,49;

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (identificação clara):\n
  • Dados: x=1,5 (valor exato) e \bar{x}=1,49 (valor aproximado).\n
  • Pede-se calcular o erro absoluto e o erro relativo. Como o enunciado menciona duas formas de definir erro relativo (dividindo pelo valor exato x ou pelo valor aproximado \bar{x}), vou calcular ambos os relativos para ficarmos seguros. Portanto as quantidades que vamos encontrar são:\n
    • o erro absoluto EA_{x};\n
    • o erro relativo usando o valor exato x, i.e. \dfrac{EA_{x}}{x};\n
    • o erro relativo usando o valor aproximado \bar{x}, i.e. \dfrac{EA_{x}}{\bar{x}}.\n

Passo 2

Definição e cálculo do erro absoluto (explicação didática):\n
  • Definição: o erro absoluto é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado, tomada em módulo, ou seja\n EA_{x} = |x - \bar{x}|.\n
  • Aqui x é o valor verdadeiro (exato) e \bar{x} é a aproximação que temos; o símbolo |\cdot| significa “valor absoluto” (tira o sinal, deixa só a magnitude).\n
  • Substituindo os números: \n EA_{x} = |\,1,5 - 1,49\,| = |\,0,01\,| = 0,01.\n
  • Comentário prático: 0,01 em forma de fração é \dfrac{1}{100}. Guarde isso porque facilita divisões exatas sem calculadora.\n

Passo 3

Definição do erro relativo e razão de usar duas formas (ensino prático):\n
  • Erro relativo é o erro absoluto dividido por uma referência de escala; é uma medida sem unidade que indica a fração (ou percentagem) do erro em relação ao tamanho do valor. As duas referências comuns são o valor exato x ou o valor aproximado \bar{x}. Ambas são usadas na prática; às vezes usamos x (quando confiamos no exato) e às vezes \bar{x} (quando só temos a aproximação).\n
  • Fórmulas:\n \text{erro relativo (referência em }x\text{)}=\frac{EA_{x}}{x},\qquad \text{erro relativo (referência em }\bar{x}\text{)}=\frac{EA_{x}}{\bar{x}}.êê\n
  • Vamos calcular as duas, mostrando manipulação exata em frações para que você possa fazer sem calculadora.\n

Passo 4

Cálculo do erro relativo tomando x como referência (passo a passo sem máquina):\n
  • Usamos EA_{x}=\dfrac{1}{100} (veio do passo anterior) e x=1,5=\dfrac{3}{2}.\n- Então\n \frac{EA_{x}}{x}=\frac{\dfrac{1}{100}}{\dfrac{3}{2}}=\frac{1}{100}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{300}=\frac{1}{150}.\n
  • Em decimal isso equivale a\n \frac{1}{150}=0,006\overline{6}\quad(\text{ou seja }0,006666\ldots).\n
  • Em porcentagem multiplica-se por 100\%:\n 0,006\overline{6}\times100\% = 0,666\overline{6}\%\;(\text{ou } \tfrac{2}{3}\%).\n
  • Interpretação rápida: o erro é cerca de 0,67\% do valor exato. Isso é pequeno — bom sinal — mas na prova mostre a fração exata \dfrac{1}{150} se pedirem precisão.\n

Passo 5

Cálculo do erro relativo tomando \bar{x} como referência (passo a passo exato):\n
  • Escrevemos \bar{x}=1,49=\dfrac{149}{100} e EA_{x}=\dfrac{1}{100}.\n- Então\n \frac{EA_{x}}{\bar{x}}=\frac{\dfrac{1}{100}}{\dfrac{149}{100}}=\frac{1}{149}.\n
  • Em decimal isso é aproximadamente\n \frac{1}{149}\approx 0,006711409\ldots\n
  • Em porcentagem:\n 0,006711409\ldots\times100\%\approx 0,6711409\%\!.\n
  • Observação prática: aqui a forma exata \dfrac{1}{149} é bonita e exata; a aproximação decimal serve para comunicar o tamanho do erro em porcentagem.\n

Resposta

a) EA_{x}=0,01,\;\text{erro relativo (referência }x)=\dfrac{1}{150}=0,006\overline{6}\approx0,666\overline{6}\%ê\n
b) EA_{x}=0,01,\;\text{erro relativo (referência }\bar{x})=\dfrac{1}{149}\approx0,006711409\approx0,6711409\%ê

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