Um número na base \beta pode ser escrito, na base decimal, como:
\sum_{i=n}^{m} a_{i} \beta^{i}=a_{m} \beta^{m}+a_{m-1} \beta^{m-1}+\ldots+a_{2} \beta^{2}+a_{1} \beta+a_{0}+a_{-1} \beta^{-1}+a_{-2} \beta^{-2}+\ldots+a_{n+1} \beta^{n+1}+a_{n} \beta^{n}.
Nos exercícios a seguir, faça a conversão da base indicada para a decimal, determinando o valor da variável x.
1011_{2}=x_{10}.

Passo 1

O enunciado pede para converter o número 1011_{2} (isto é, escrito na base 2) para a base decimal e determinar o valor da variável x tal que 1011_{2}=x_{10}.
Informações fornecidas que vamos usar: os dígitos do número, da esquerda para a direita, são 1, 0, 1, 1; a base é \beta=2; queremos o equivalente em base decimal (base 10).

Passo 2

Lembrete didático (posição e valor): um número em base \beta com dígitos a_m a_{m-1}\dots a_1 a_0 representa
\sum_{i=0}^{m} a_i \beta^i.
Aqui cada a_i é o dígito na posição de ordem i (contando a partir de 0 na direita) e \beta^i é o peso dessa posição. No nosso caso \beta=2 (base binária) e os dígitos só podem ser 0 ou 1.

Passo 3

Aplicando isso ao número 1011_{2}: como o número tem quatro dígitos, suas posições (expoentes) vão de 3 até 0. Portanto escrevemos a expansão positional:
1011_{2}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}.
Expliquei: o primeiro 1 (mais à esquerda) multiplica 2^3, o 0 multiplica 2^2, e assim por diante.

Passo 4

Calcule os poderes de 2 usados:
2^{3}=8,\qquad 2^{2}=4,\qquad 2^{1}=2,\qquad 2^{0}=1.
Substituindo na soma:
1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1.

Passo 5

Efetue as multiplicações e a soma passo a passo:
1\cdot 8 = 8,
0\cdot 4 = 0,
1\cdot 2 = 2,
1\cdot 1 = 1.
Somando em ordem: 8+0=8, 8+2=10, 10+1=11. Logo o valor em decimal é 11.

Passo 6

Método alternativo (útil em prova para números maiores): interpretação por “dobrar e somar” ao ler da esquerda para a direita. Começando em 0:
  • ler 1: 0\cdot2+1=1,
  • ler 0: 1\cdot2+0=2,
  • ler 1: 2\cdot2+1=5,
  • ler 1: 5\cdot2+1=11.
    Esse procedimento dá o mesmo resultado e evita escrever potências explicitamente.

Passo 7

Conclusão: o número 1011_{2} corresponde ao número 11 na base decimal, portanto x=11.

Resposta

x=11

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