- Quantos são os anagramas da palavra “ESTRELADA”?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘ESTRELADA’?”
Informações dadas (extraídas diretamente da palavra): a palavra tem letras no total. As letras e suas multiplicidades são:
,
,
,
,
,
,
.
Informações dadas (extraídas diretamente da palavra): a palavra tem
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): quando queremos contar todas as permutações de
objetos em que há objetos idênticos, contamos primeiro como se todos fossem distintos e depois corrigimos o excesso de contagens causado pelos objetos idênticos.
Se todos os fossem distintos, o número de permutações seria
(lê-se “n fatorial”), que é o produto
.
Mas se houver grupos de objetos idênticos com tamanhos , então permutar entre si os objetos idênticos não cria novas permutações distintas; cada arranjo distinto foi contado
vezes em
. Por isso a fórmula corretiva é:
Se todos os
Mas se houver grupos de objetos idênticos com tamanhos
Aqui
é o total de letras e cada
é a multiplicidade de uma letra repetida. Essa fórmula remove as contagens repetidas dividindo por cada
.
Passo 3
Exemplo simples para fixar a ideia: as letras
. Listando de cabeça temos
— são
anagramas distintos. A fórmula dá:
que concorda com a enumeração manual. Isso mostra por que dividimos por
quando há duas letras
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: o total de letras é
. Há dois
s e dois
s, ou seja, multiplicidades
e
. Portanto o número de anagramas distintos é
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo: primeiro
. Os denominadores valem
. Dividindo,
(operação feita como
e de novo
, para facilitar sem calculadora.)
Passo 6
Interpretação final e incentivo: então existem
anagramas distintos da palavra “ESTRELADA”. Tá vendo? A ideia principal é sempre contar como se tudo fosse diferente e depois dividir pelas permutações internas das letras repetidas — dá pra fazer rápido na prova se você identificar as multiplicidades.