1. Quantos são os anagramas da palavra “ESTRELADA”?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘ESTRELADA’?”
Informações dadas (extraídas diretamente da palavra): a palavra tem 9 letras no total. As letras e suas multiplicidades são: E:2, S:1, T:1, R:1, L:1, A:2, D:1.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): quando queremos contar todas as permutações de n objetos em que há objetos idênticos, contamos primeiro como se todos fossem distintos e depois corrigimos o excesso de contagens causado pelos objetos idênticos.
Se todos os n fossem distintos, o número de permutações seria n! (lê-se “n fatorial”), que é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
Mas se houver grupos de objetos idênticos com tamanhos n_1,n_2,\dots, então permutar entre si os objetos idênticos não cria novas permutações distintas; cada arranjo distinto foi contado n_1! \cdot n_2! \cdots vezes em n!. Por isso a fórmula corretiva é:
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}
Aqui n é o total de letras e cada n_i é a multiplicidade de uma letra repetida. Essa fórmula remove as contagens repetidas dividindo por cada n_i!.

Passo 3

Exemplo simples para fixar a ideia: as letras A,A,B. Listando de cabeça temos AAB, ABA, BAA — são 3 anagramas distintos. A fórmula dá:
\frac{3!}{2!}=\frac{6}{2}=3,
que concorda com a enumeração manual. Isso mostra por que dividimos por 2! quando há duas letras A.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: o total de letras é n=9. Há dois Es e dois As, ou seja, multiplicidades 2 e 2. Portanto o número de anagramas distintos é
\frac{9!}{2!\,2!}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo: primeiro 9! = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 362880. Os denominadores valem 2!\cdot2! = 2\cdot2 = 4. Dividindo,
\frac{362880}{4} = 90720.
(operação feita como 362880/2=181440 e de novo 181440/2=90720, para facilitar sem calculadora.)

Passo 6

Interpretação final e incentivo: então existem 90720 anagramas distintos da palavra “ESTRELADA”. Tá vendo? A ideia principal é sempre contar como se tudo fosse diferente e depois dividir pelas permutações internas das letras repetidas — dá pra fazer rápido na prova se você identificar as multiplicidades.

Resposta

90720

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