Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada em diversas sequências numéricas de soluçōes aproximadas em procedimentos numéricos. Use cálculos efetuados nos itens anteriores para justificar por que o erro relativo será preferível na maioria desses critérios.

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois critérios de parada em métodos iterativos: o critério do erro absoluto e o critério do erro relativo, e mostrar por que na prática é melhor usar o erro relativo. Vamos precisar das definições de cada um e de exemplos numéricos que mostrem como um mesmo erro “em valor” pode ter significados muito diferentes dependendo da escala do problema.

Passo 2

Definimos, em cada iteração k,
\varepsilon_a = \bigl|x_k - x_{k-1}\bigr|
como o erro absoluto, e
\varepsilon_r = \frac{\bigl|x_k - x_{k-1}\bigr|}{\bigl|x_k\bigr|}
como o erro relativo.
O conteúdo aqui é que \varepsilon_r normaliza o desvio pela ordem de grandeza de x_k, enquanto \varepsilon_a não.

Passo 3

Vejamos dois exemplos numéricos simples, usando a mesma diferença \varepsilon_a em escalas diferentes e um tolerância \text{tol}_r=10^{-2} para o erro relativo:
- Caso 1 (grande escala): x_{k-1}=100{,}00, x_k=100{,}05.
\varepsilon_a = 0{,}05,\qquad \varepsilon_r = \frac{0{,}05}{100{,}05}\approx5\times10^{-4}.
Como \varepsilon_r\approx5\times10^{-4}<10^{-2}, o critério relativo indica parar.
- Caso 2 (pequena escala): x_{k-1}=1{,}00, x_k=1{,}05.
\varepsilon_a = 0{,}05,\qquad \varepsilon_r = \frac{0{,}05}{1{,}05}\approx4,8\times10^{-2}.
Aqui \varepsilon_r\approx4,8\times10^{-2}>10^{-2}, então o critério relativo manda continuar.
Mas o critério absoluto sozinho \varepsilon_a=0{,}05 seria idêntico nos dois casos e não distingueria se a iteração já está “boa o suficiente” em escala pequena.

Passo 4

Como mostramos, o mesmo \varepsilon_a pode ser insignificante em valores grandes e gravíssimo em valores pequenos. O erro relativo corrige isso ao dividir pela ordem de grandeza de x_k, tornando o critério de parada invariante à escala do problema. Por essa razão, na maioria das aplicações numéricas o erro relativo é preferido como critério de convergência.

Resposta

O erro relativo é preferível porque mede o desvio em proporção ao valor aproximado, ajustando automaticamente a “tolerância” à ordem de grandeza de x_k e garantindo um critério de parada uniforme independentemente da escala da solução.

Exercícios relacionados