Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada em diversas sequências numéricas de soluçōes aproximadas em procedimentos numéricos. Use cálculos efetuados nos itens anteriores para justificar por que o erro relativo será preferível na maioria desses critérios.
Passo 1
O enunciado pede para comparar dois critérios de parada em métodos iterativos: o critério do erro absoluto e o critério do erro relativo, e mostrar por que na prática é melhor usar o erro relativo. Vamos precisar das definições de cada um e de exemplos numéricos que mostrem como um mesmo erro “em valor” pode ter significados muito diferentes dependendo da escala do problema.
como o erro relativo.
O conteúdo aqui é que \varepsilon_r normaliza o desvio pela ordem de grandeza de x_k, enquanto \varepsilon_a não.
Passo 3
Vejamos dois exemplos numéricos simples, usando a mesma diferença \varepsilon_a em escalas diferentes e um tolerância \text{tol}_r=10^{-2} para o erro relativo:
- Caso 1 (grande escala): x_{k-1}=100{,}00, x_k=100{,}05.
Aqui \varepsilon_r\approx4,8\times10^{-2}>10^{-2}, então o critério relativo manda continuar.
Mas o critério absoluto sozinho \varepsilon_a=0{,}05 seria idêntico nos dois casos e não distingueria se a iteração já está “boa o suficiente” em escala pequena.
Passo 4
Como mostramos, o mesmo \varepsilon_a pode ser insignificante em valores grandes e gravíssimo em valores pequenos. O erro relativo corrige isso ao dividir pela ordem de grandeza de x_k, tornando o critério de parada invariante à escala do problema. Por essa razão, na maioria das aplicações numéricas o erro relativo é preferido como critério de convergência.
Resposta
O erro relativo é preferível porque mede o desvio em proporção ao valor aproximado, ajustando automaticamente a “tolerância” à ordem de grandeza de x_k e garantindo um critério de parada uniforme independentemente da escala da solução.