Considere um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 3 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa num total de 10 bits.
a. Que número é representado por 1000010100 ?
b. Qual é o maior número positivo nele representável?
c. Qual é o maior número menor que 1?

Passo 1

O enunciado define um formato de ponto flutuante com 1 bit de sinal, 3 bits de expoente e 6 bits de mantissa (total 10 bits).
Vamos usar a norma IEEE-like com viés (bias) dado por
\text{bias} = 2^{3-1} - 1 = 3.
Os casos principais são:
– campo de expoente E=0: números subnormais com mantissa implícita zero;
1 \le E \le 2^3-2 = 6: números normalizados com mantissa implícita 1;
E=7: reservado a infinitos e NaN (não usado aqui).

Passo 2

Para (a) o bitstring é
1\;000\;010100,
onde
– bit de sinal s=1 \Rightarrow número negativo;
– expoente armazenado E=000_2=0 \Rightarrow subnormal;
– mantissa sem o bit implícito: m=0.010100_2.

Passo 3

No caso subnormal, o valor é
(-1)^s \times m \times 2^{\,1 - \text{bias}}
com
m = 0\cdot2^{-1} +1\cdot2^{-2} +0\cdot2^{-3} +1\cdot2^{-4} +0\cdot2^{-5} +0\cdot2^{-6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}.
E 1-\text{bias}=1-3=-2. Logo
\text{valor} = -\,\frac{5}{16}\times2^{-2} = -\,\frac{5}{16}\times\frac{1}{4} = -\,\frac{5}{64} = -0{,}078125.

Passo 4

Para (b), o maior número positivo normalizado surge com
s=0,\quad E=110_2=6,\quad \text{mantissa}=111111_2.
Então a mantissa efetiva é
1 + \frac{63}{64} = \frac{127}{64},
e o expoente real é e = E - \text{bias} = 6-3=3. Logo
\max = +\frac{127}{64}\times2^3 = \frac{127}{64}\times8 = \frac{127}{8} = 15{,}875.

Passo 5

Para (c), queremos o maior valor menor que 1. Números em [1,2) têm E=3. O que fica abaixo de 1 vem de E=2, isto é e=2-3=-1, e usamos mantissa máxima 111111_2. Assim
1 + \frac{63}{64} = \frac{127}{64},
e
\max_{<1} = \frac{127}{64}\times2^{-1} = \frac{127}{128} = 0{,}9921875.

Resposta

a. -0{,}078125
b. 15{,}875
c. 0{,}9921875

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