Esboçar e calcular a área da regiāo limitada por y=|x-1| e y=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas
y = |x - 1|
e
y = x^{2} - 2x
identificar a região fechada por essas duas curvas e calcular a área dessa região. Para isso vamos precisar de:
  1. Encontrar os pontos de interseção resolvendo |x-1| = x^{2}-2x por casos.
  2. Determinar em cada intervalo qual curva está acima da outra.
  3. Montar e calcular a integral definida da diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Resolver |x-1| = x^{2}-2x em dois casos:
Caso x\ge1: então |x-1| = x-1, logo
x - 1 = x^{2} - 2x \;\Longrightarrow\; x^{2} - 3x + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.
Destes, só x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} satisfaz x\ge1. O ponto é
\Bigl(\tfrac{3+\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}-1\Bigr) = \Bigl(\tfrac{3+\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr).
Caso x<1: então |x-1| = 1-x, logo
1 - x = x^{2} - 2x \;\Longrightarrow\; x^{2} - x - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Destes, só x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} satisfaz x<1. O ponto é
\Bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2},\,1 - \tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr).

Passo 3

Os pontos de interseção estão em
x_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}.
Como o “V” de y=|x-1| muda de ramo em x=1, dividimos em dois trechos:
Para x\in [x_1,1]:
– curva de cima: y = |x-1| = 1 - x.
– curva de baixo: y = x^{2} - 2x.
Para x\in [1,x_2]:
– curva de cima: y = |x-1| = x - 1.
– curva de baixo: y = x^{2} - 2x.
A área é
A = \int_{x_1}^{1} \bigl[(1-x) - (x^{2}-2x)\bigr]\,dx \;+\; \int_{1}^{x_2} \bigl[(x-1) - (x^{2}-2x)\bigr]\,dx.

Passo 4

Calcular cada integral:
  1. \displaystyle\int_{x_1}^{1} \bigl[1 - x - x^{2} + 2x\bigr]\,dx = \int_{x_1}^{1} (1 + x - x^{2})\,dx = \Bigl[x + \tfrac{x^{2}}{2} - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{x_1}^{1} = \frac{7 + 5\sqrt{5}}{12}.
  2. \displaystyle\int_{1}^{x_2} \bigl[x - 1 - x^{2} + 2x\bigr]\,dx = \int_{1}^{x_2} (3x - 1 - x^{2})\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^{3}}{3} + \tfrac{3x^{2}}{2} - x\Bigr]_{1}^{x_2} = \frac{7 + 5\sqrt{5}}{12}.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
A = \frac{7 + 5\sqrt{5}}{12} + \frac{7 + 5\sqrt{5}}{12} = \frac{7 + 5\sqrt{5}}{6}.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é
\boxed{\;A = \frac{7 + 5\sqrt{5}}{6}\;}.

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