Esboçar e calcular a área da regiāo limitada por
e
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas
e
identificar a região fechada por essas duas curvas e calcular a área dessa região. Para isso vamos precisar de:
- Encontrar os pontos de interseção resolvendo
por casos. - Determinar em cada intervalo qual curva está acima da outra.
- Montar e calcular a integral definida da diferença entre a função de cima e a de baixo.
Passo 2
Resolver
em dois casos:
Caso
: então
, logo
Destes, só
satisfaz
. O ponto é
Caso
: então
, logo
Destes, só
satisfaz
. O ponto é
Passo 3
Os pontos de interseção estão em
Como o “V” de
muda de ramo em
, dividimos em dois trechos:
Para
:
– curva de cima: .
– curva de baixo: .
– curva de cima:
– curva de baixo:
Para
:
– curva de cima: .
– curva de baixo: .
– curva de cima:
– curva de baixo:
A área é
Passo 4
Calcular cada integral:
Passo 5
Somando as duas parcelas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é