Problema 06 - Um campo de velocidade é dado por:
\boldsymbol{V}=A_{x} \boldsymbol{i}-A_{y} \boldsymbol{j}
As unidades de velocidade são em \mathrm{m} / \mathrm{s}; x e y são em metros. \mathrm{A}=0,3 \mathrm{~s}^{-1}.
a) Obtenha a equação para as linhas de corrente no plano x y;
b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto \left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)=(2,8);
c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto (2,8);
d) Se a partícula passando pelo ponto \left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) no instante \mathrm{t}=0 for marcada, determine a sua localização no instante \mathrm{t}=6 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado apresenta um campo de velocidade permanente no plano xy dado por
\mathbf{V}=A\,x\,\mathbf{i}-A\,y\,\mathbf{j},
com A=0,3\\ \mathrm{s}^{-1}. Pede-se
a) as linhas de corrente (streamlines),
b) a curva que passa por (x_0,y_0)=(2,8),
c) a velocidade de partícula nesse ponto,
d) a posição dessa partícula em t=6\\ \mathrm{s}.

Passo 2

As linhas de corrente satisfazem
\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}=\frac{-A\,y}{A\,x}=-\frac{y}{x}.
Separamos variáveis:
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln y=-\ln x+C \quad\Longrightarrow\quad \ln(xy)=C
logo a família de streamlines é
xy=\text{constante}.

Passo 3

Para a curva que passa por (2,8) temos
x\,y=2\cdot8=16,
isto é,
y=\frac{16}{x}.

Passo 4

No ponto (2,8) a velocidade fica
v_x=A\,x=0{,}3\cdot2=0{,}6\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_y=-A\,y=-0{,}3\cdot8=-2{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Como vetor,
\mathbf{V}(2,8)=0{,}6\,\mathbf{i}-2{,}4\,\mathbf{j}\quad(\mathrm{m/s}),
e o módulo é
\bigl\lvert\mathbf{V}\bigr\rvert =\sqrt{0{,}6^2+(-2{,}4)^2} =\sqrt{0{,}36+5{,}76} \approx2{,}47\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para traçar trajetórias de partículas (pathlines) resolvemos
\frac{dx}{dt}=A\,x,\quad \frac{dy}{dt}=-A\,y.
Separando e integrando:
\ln x=A\,t+\ln x_0 \quad\Longrightarrow\quad x(t)=x_0\,e^{A\,t},
\ln y=-A\,t+\ln y_0 \quad\Longrightarrow\quad y(t)=y_0\,e^{-A\,t}.
Com (x_0,y_0)=(2,8) em t=0.

Passo 6

Em t=6\\ \mathrm{s} (com A=0{,}3\\ \mathrm{s}^{-1}, A\,t=1{,}8):
x(6)=2\,e^{1{,}8}, \qquad y(6)=8\,e^{-1{,}8}.
Numericamente,
x(6)\approx2\cdot6{,}05=12{,}10\\ \mathrm{m}, \quad y(6)\approx8\cdot0{,}165=1{,}32\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) As linhas de corrente são dadas por
xy=C\quad(C\\ \text{constante}).
b) A streamline que passa por (2,8) é
xy=16, \quad \text{ou}\quad y=\frac{16}{x}.
c) A velocidade no ponto (2,8) é
\mathbf{V}(2,8)=0{,}6\,\mathbf{i}-2{,}4\,\mathbf{j}\\ \mathrm{(m/s)},
com módulo \approx2{,}47\\ \mathrm{m/s}.
d) A posição da partícula em t=6\\ \mathrm{s} é
\bigl(x(6),y(6)\bigr) =\bigl(2\,e^{1{,}8},\,8\,e^{-1{,}8}\bigr) \approx(12{,}10,\;1{,}32)\\ \mathrm{m}.

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