Questão 1. (4.0 pontos) Considere a equaçāo diferencial
a. (2.0 pontos) A solução geral da equação diferencial homogênea associada com (1);
Obtenha:
b. (1.0 ponto) Uma solução particular.
c. (1.0 ponto) A solução do problema de valor inicial envolvendo a equaçāo diferencial (1) e as condições iniciais:
e
.
b. (1.0 ponto) Uma solução particular.
c. (1.0 ponto) A solução do problema de valor inicial envolvendo a equaçāo diferencial (1) e as condições iniciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
e pede:
a. a solução geral da homogênea associada;
b. uma solução particular;
c. a solução que satisfaz as condições iniciais
.
Vamos usar o polinômio característico e o método dos coeficientes indeterminados.
a. a solução geral da homogênea associada;
b. uma solução particular;
c. a solução que satisfaz as condições iniciais
Vamos usar o polinômio característico e o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a homogênea
montamos o polinômio característico
Fatorando como
, obtemos as raízes
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
ao lado de um termo polinomial
, tentamos
Derivando e substituindo em
vemos que todas as derivadas de ordem
são zero, sobrando
Comparando coeficientes:
e
dá
.
Então
Então
Passo 4
A solução geral é
Derivando até terceira ordem e avaliando em
, impomos
Isso gera o sistema linear para
, cuja única solução é
Portanto a solução que satisfaz todas as condições iniciais é
Resposta
a.
b.
c.
b.
c.