Questão 1. (4.0 pontos) Considere a equaçāo diferencial
y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t+1
a. (2.0 pontos) A solução geral da equação diferencial homogênea associada com (1);
Obtenha:
b. (1.0 ponto) Uma solução particular.
c. (1.0 ponto) A solução do problema de valor inicial envolvendo a equaçāo diferencial (1) e as condições iniciais: y(0)=3, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0 e y^{\prime \prime \prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^{(4)}-2\,y^{\prime\prime\prime}+2\,y^{\prime\prime}-2\,y^{\prime}+y = t+1
e pede:
a. a solução geral da homogênea associada;
b. uma solução particular;
c. a solução que satisfaz as condições iniciais
\;y(0)=3,\;y'(0)=1,\;y''(0)=0,\;y'''(0)=0.
Vamos usar o polinômio característico e o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a homogênea
y^{(4)}-2\,y^{\prime\prime\prime}+2\,y^{\prime\prime}-2\,y^{\prime}+y=0
montamos o polinômio característico
r^4-2r^3+2r^2-2r+1=0.
Fatorando como (r^2+1)(r^2-2r+1)=0, obtemos as raízes
r^2+1=0\\ \Rightarrow\\ r=\pm i, \quad r^2-2r+1=0\\ \Rightarrow\\ r=1\\ (\text{dupla}).
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1e^t + C_2\,t\,e^t + C_3\cos t + C_4\sin t.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p ao lado de um termo polinomial t+1, tentamos
y_p(t)=A\,t + B.
Derivando e substituindo em
y^{(4)}-2y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=t+1
vemos que todas as derivadas de ordem >=2 são zero, sobrando
-2\,y_p'(t)+y_p(t) = -2A + (A\,t+B)=t+1.
Comparando coeficientes:
\;A=1 e -2A+B=1 B=3.
Então
y_p(t)=t+3.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1e^t + C_2\,t\,e^t + C_3\cos t + C_4\sin t + t+3.
Derivando até terceira ordem e avaliando em t=0, impomos
y(0)=3,\;y'(0)=1,\;y''(0)=0,\;y'''(0)=0.
Isso gera o sistema linear para C_1,C_2,C_3,C_4, cuja única solução é
C_1=C_2=C_3=C_4=0.
Portanto a solução que satisfaz todas as condições iniciais é
y(t)=t+3.

Resposta

a. \displaystyle y_h(t)=C_1e^t + C_2\,t\,e^t + C_3\cos t + C_4\sin t.
b. \displaystyle y_p(t)=t+3.
c. \displaystyle y(t)=t+3.

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