Questāo 2.
a. Obtenha uma solução particular para equação diferencial ordinária
t^{2} y^{\prime \prime}-t y^{\prime}+y=t \ln t, \quad t>0 ;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de Cauchy–Euler
t^{2}y'' - t y' + y = t\ln t,\quad t>0.
Em equações desse tipo, é conveniente usar a substituição
t = e^{x},\quad x=\ln t,
para reduzir a um problema de coeficientes constantes.

Passo 2

Definimos
v(x)=y\bigl(e^{x}\bigr).
Como
y'=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{v'}{t}, \quad y''=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{v'}{t}\Bigr) =\frac{v''-v'}{t^{2}},
substituindo em t^{2}y''-ty'+y obtemos
v''-v' -v' +v = e^{x}\,x,
isto é
v'' -2v' +v = e^{x}x.

Passo 3

Para resolver
v'' -2v' +v = e^{x}x
buscamos uma solução particular da forma
v_{p}(x)=e^{x}P(x),
onde P(x) é um polinômio. Operando o lado esquerdo, verifica-se que
L[v_{p}]=v_{p}''-2v_{p}'+v_{p} =e^{x}P''(x).
Logo precisamos de
P''(x)=x.
Integrando duas vezes,
P'(x)=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}, \quad P(x)=\frac{x^{3}}{6}+C_{1}x+C_{2}.
Escolhemos a parte que gera a resposta particular (descartando os termos que entram na homogênea), ou seja
P(x)=\frac{x^{3}}{6}.

Passo 4

Fica
v_{p}(x)=e^{x}\,\frac{x^{3}}{6} \quad\Longrightarrow\quad y_{p}(t)=v_{p}(\ln t) =\frac{(\ln t)^{3}}{6}\,e^{\ln t} =\frac{t}{6}(\ln t)^{3}.

Resposta

y_{p}(t)=\frac{t}{6}(\ln t)^{3}.

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