Esboçar as curvas de nível de f, para os seguintes valores de k.
g) f(x, y) = x^2 / (y^2 + 1), k = 0, 1, 2, 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos as curvas de nível da função para os valores de . Isso está ligado ao estudo de curvas de nível, que é um tema de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, para cada , temos a equação , e resolver essa equação nos dá a curva de nível correspondente.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Queremos achar a relação entre e para cada valor de .

Passo 4

Rearranjando a equação para isolar :
Isso nos ajuda a entender a forma da curva para cada .

Passo 5

Agora, vamos analisar cada valor de :
Para :
Isso implica que , independente de . Então, a curva de nível é o eixo .
Para :
Essa é a equação de uma hipérbole com transversais ao longo do eixo .
Para :
Também é uma hipérbole, mas mais “fechada” que a anterior devido ao coeficiente de .
Para :
Novamente, uma hipérbole, ainda mais estreita conforme aumenta .

Passo 6

Resumindo, para , temos uma linha reta no eixo . Para , temos hipérboles que se afastam do eixo conforme aumenta. Ao esboçar, você desenha o eixo para e, para os outros valores, desenha hipérboles abertas nos lados direito e esquerdo do eixo , com a abertura aumentando conforme aumenta.

Resposta

As curvas de nível da função para são:
  • Para : o eixo .
  • Para : hipérboles com equações .
    Essas hipérboles ficam mais afastadas do eixo conforme aumenta.

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