Esboçar as curvas de nível de
, para os seguintes valores de
.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos as curvas de nível da função
para os valores de
. Isso está ligado ao estudo de curvas de nível, que é um tema de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja, para cada
, temos a equação
, e resolver essa equação nos dá a curva de nível correspondente.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Queremos achar a relação entre
e
para cada valor de
.
Passo 4
Rearranjando a equação para isolar
:
Isso nos ajuda a entender a forma da curva para cada
.
Passo 5
Agora, vamos analisar cada valor de
:
Para
:
Isso implica que
, independente de
. Então, a curva de nível é o eixo
.
Para
:
Essa é a equação de uma hipérbole com transversais ao longo do eixo
.
Para
:
Também é uma hipérbole, mas mais “fechada” que a anterior devido ao coeficiente de
.
Para
:
Novamente, uma hipérbole, ainda mais estreita conforme aumenta
.
Passo 6
Resumindo, para
, temos uma linha reta no eixo
. Para
, temos hipérboles que se afastam do eixo
conforme
aumenta. Ao esboçar, você desenha o eixo
para
e, para os outros valores, desenha hipérboles abertas nos lados direito e esquerdo do eixo
, com a abertura aumentando conforme
aumenta.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são:
- Para
: o eixo . - Para
: hipérboles com equações .
Essas hipérboles ficam mais afastadas do eixoconforme aumenta.