Mostre que os seguintes limites não existem.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis,
, quando
se aproxima de
. O objetivo é mostrar que esse limite não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites em várias dimensões e verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Queremos ver se esse limite tem o mesmo valor independente de como chegamos a
. Se encontrarmos dois caminhos diferentes que resultem em limites diferentes, isso prova que o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos começar escolhendo alguns caminhos simples. Um caminho comum é aproximar-se de
ao longo dos eixos
ou
.
Caminho 1: Ao longo do eixo
Aqui, . Substituindo na função:
Aqui,
Então, o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 4
Caminho 2: Ao longo do eixo
Aqui, . Substituindo na função:
Aqui,
Então, o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 5
Já temos dois limites diferentes:
pelo eixo
e
pelo eixo
. Isso significa que o limite geral depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
.
Passo 6
Como o limite depende do caminho e dá resultados diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.