Mostre que os seguintes limites não existem.
d) lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(x^2+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, , quando se aproxima de . O objetivo é mostrar que esse limite não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites em várias dimensões e verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dada:
lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(x^2+y^2)^2
Queremos ver se esse limite tem o mesmo valor independente de como chegamos a . Se encontrarmos dois caminhos diferentes que resultem em limites diferentes, isso prova que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo alguns caminhos simples. Um caminho comum é aproximar-se de 0^4 + 3x^2 cdot 0^2 + 2 cdot 0 cdot x^3(x^2 + 0^2)^2 = 0x^4 = 0 ao longo dos eixos ou .
Caminho 1: Ao longo do eixo
Aqui, . Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo é .

Passo 4

Caminho 2: Ao longo do eixo y^4 + 3 cdot 0^2 cdot y^2 + 2 cdot y cdot 0^3(0^2 + y^2)^2 = y^4y^4 = 1
Aqui, . Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo é .

Passo 5

Já temos dois limites diferentes: pelo eixo e pelo eixo . Isso significa que o limite geral depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de .

Passo 6

Como o limite depende do caminho e dá resultados diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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