Reduza a equação à forma mais simples, através de translação eventual e rotação. Dê o ângulo de rotação. Descreva o conjunto representado.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
que é uma forma quadrática homogênea sem termos lineares nem constante. O objetivo é eliminar o termo misto
por meio de rotação de eixos e, em seguida, identificar o tipo de cônica. Vamos usar a fórmula de rotação de eixos para cônicas centrais, em que o ângulo
satisfaz
com
,
,
.
Passo 2
Calcular o ângulo de rotação
. De
segue
Passo 3
Calcular os coeficientes principais (autovalores)
e
da matriz . Usamos
Aqui
, logo
. Assim
Passo 4
Em coordenadas rotacionadas
, a equação fica
Dividindo por
, obtemos a forma mais simples
Passo 5
Como
é soma de quadrados com coeficientes positivos, a única solução real é
e
.
Resposta
O ângulo de rotação é
Na base rotacionada, a equação reduz-se a
cuja única solução real é o ponto
. Portanto, o conjunto representado é apenas a origem (uma elipse imaginária degenerada a um ponto).