Reduza a equação à forma mais simples, através de translação eventual e rotação. Dê o ângulo de rotação. Descreva o conjunto representado.
17 x^2-12 x y+8 y^2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
17x^2-12xy+8y^2=0
que é uma forma quadrática homogênea sem termos lineares nem constante. O objetivo é eliminar o termo misto xy por meio de rotação de eixos e, em seguida, identificar o tipo de cônica. Vamos usar a fórmula de rotação de eixos para cônicas centrais, em que o ângulo theta satisfaz
tan(2theta)=BA-C,
com A=17, B=-12, C=8.

Passo 2

Calcular o ângulo de rotação theta. De
tan(2theta)=-1217-8=-129=-43
segue
2theta=arctanl(-tfrac43r) Longrightarrow theta=tfrac12arctanl(-tfrac43r) approx -26,565^circ

Passo 3

Calcular os coeficientes principais (autovalores) e da matriz . Usamos
Aqui , logo . Assim

Passo 4

Em coordenadas rotacionadas (X,Y), a equação fica
20,X^2+5,Y^2=0
Dividindo por 5, obtemos a forma mais simples
4,X^2+Y^2=0

Passo 5

Como 4X^2+Y^2=0 é soma de quadrados com coeficientes positivos, a única solução real é X=0 e Y=0.

Resposta

O ângulo de rotação é
theta=tfrac12arctanl(-tfrac43r)approx -26,565^circ
Na base rotacionada, a equação reduz-se a
4X^2+Y^2=0,
cuja única solução real é o ponto (X,Y)=(0,0). Portanto, o conjunto representado é apenas a origem (uma elipse imaginária degenerada a um ponto).

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