Reduza a equação à forma mais simples, através de translação eventual e rotação. Dê o ângulo de rotação. Descreva o conjunto representado.
Passo 1
O enunciado pede para reduzir a equação
à forma mais simples, usando rotação de eixo para eliminar o termo em
e depois translação para remover os termos lineares. O conteúdo aqui é classificação de cônicas via forma quadrática, rotação de eixos (tan
) e translação (completamento de quadrado).
Passo 2
Escrevemos a forma geral
onde
O ângulo de rotação
satisfaz
Passo 3
Tomando
fica
Para essa
temos
Passo 4
Definimos a rotação
e substituímos na equação. O termo misto some e a parte quadrática se diagonaliza com autovalores
e
. Além disso, os termos lineares viram
Logo a equação rotacionada é
Passo 5
Agora fazemos translação para completar quadrado:
Substituindo e reunindo constantes obtemos
ou seja
Passo 6
Essa é a forma padrão de uma hipérbole, com centro
e eixos principais ao longo dos eixos
e
.
Resposta
Ângulo de rotação
Equação reduzida (coordenadas
):
O conjunto é uma hipérbole com centro em
e eixos principais alinhados com os eixos rotacionados.