Reduza a equação à forma mais simples, através de translação eventual e rotação. Dê o ângulo de rotação. Descreva o conjunto representado.
8 y^2+6 x y-12 x-26 y+11=0

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a equação
8y^2+6xy-12x-26y+11=0
à forma mais simples, usando rotação de eixo para eliminar o termo em xy e depois translação para remover os termos lineares. O conteúdo aqui é classificação de cônicas via forma quadrática, rotação de eixos (tan 2theta=B/(A-C)) e translação (completamento de quadrado).

Passo 2

Escrevemos a forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
onde
A=0, B=6, C=8, D=-12, E=-26, F=11
O ângulo de rotação theta satisfaz
tan(2theta)=BA-C=60-8=-34

Passo 3

Tomando
2theta = arctan!l(-tfrac34r)approx -36,87^circ
fica
theta = -18,435^circ
Para essa theta temos
costheta=3raiz1010, sintheta=-raiz1010

Passo 4

Definimos a rotação
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta,
e substituímos na equação. O termo misto some e a parte quadrática se diagonaliza com autovalores
lambda1=9 e lambda2=-1. Além disso, os termos lineares viram
d' ;=; Q^T-12-26 ;=;-raiz10-9raiz10
Logo a equação rotacionada é
9x'^2-y'^2-raiz10,x'-9raiz10,y'+11=0

Passo 5

Agora fazemos translação para completar quadrado:
9x'^2-raiz10,x' &=9l(x'-tfracraiz1018r)^2-518, -y'^2-9raiz10,y' &=-l(y'+tfrac9raiz102r)^2+4052
Substituindo e reunindo constantes obtemos
9l(x'-tfracraiz1018r)^2 -l(y'+tfrac9raiz102r)^2 +19199=0,
ou seja
-l(x'-tfracraiz1018r)^2,1919/81, +l(y'+tfrac9raiz102r)^2,1919/9, =1

Passo 6

Essa é a forma padrão de uma hipérbole, com centro
l(x'0,y'0r) =l(tfracraiz1018,,-tfrac9raiz102r),
e eixos principais ao longo dos eixos x' e y'.

Resposta

Ângulo de rotação
theta=-tfrac12arctan!l(tfrac34r)approx -18,435^circ
Equação reduzida (coordenadas (x',y')):
-l(x'-tfracraiz1018r)^21919/81 +l(y'+tfrac9raiz102r)^21919/9 =1
O conjunto é uma hipérbole com centro em l(tfracraiz1018,-tfrac9raiz102r) e eixos principais alinhados com os eixos rotacionados.

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