Esboçar o gráfico das cônicas:
(x-2)^{2}=12(y-3)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da cônica dada por
(x - 2)^{2} = 12\,(y - 3).
Isso é uma parábola no plano xy. Para desenhá-la, vamos usar a forma padrão de uma parábola e, a partir daí, achar o vértice, o foco, a diretriz e a abertura.

Passo 2

Reconhecemos que a forma geral
(x - h)^{2} = 4p\,(y - k)
é uma parábola com eixo vertical de vértice em (h,k), que abre para cima se p>0 ou para baixo se p<0. No nosso caso temos
(x - 2)^{2} = 12\,(y - 3),
logo 4p = 12, de onde
p = \frac{12}{4} = 3.

Passo 3

  • Vértice (h,k) = (2,\,3).
  • O valor p=3>0 indica que a parábola abre para cima (no sentido crescente do eixo y).
  • Foco: sobe p unidades a partir do vértice, ou seja
\bigl(2,\;3 + 3\bigr) = (2,\,6).
  • Diretriz: é a reta horizontal que fica p unidades abaixo do vértice, dada por
y = k - p = 3 - 3 = 0.
  • Eixo de simetria: reta vertical que passa pelo vértice, ou seja x = 2.

Passo 4

Com essas informações, o esboço fica simples:
  1. Marque o vértice em (2,3).
  2. Trace o foco em (2,6) e a diretriz y=0.
  3. Desenhe a parábola passando pelo vértice e “curvando” para cima, simétrica em relação a x=2.

Resposta

A parábola tem vértice em (2,3), foco em (2,6), diretriz y=0 e abre para cima com eixo de simetria x=2. O esboço consiste em uma curva em “U” que passa por (2,3), com ramo subindo em torno da reta x=2.

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