Seja
Verifique quais propriedades de espaço vetorial o conjunto V satisfaz.
Passo 1
O enunciado define em
as operações
O que precisamos é verificar, uma a uma, as propriedades que caracterizam um espaço vetorial sobre
:
– Axiomas de adição a
,
– Axiomas de multiplicação escalar a
.
– Axiomas de adição
– Axiomas de multiplicação escalar
Passo 2
Verificação dos axiomas de adição em
:
- Fechamento
: dado ,
tem componentes em
, logo está em
.
2. Comutatividade :
2. Comutatividade
pois soma e produto em
são comutativos.
3. Associatividade : para
o componente em
em qualquer ordem fica
3. Associatividade
e em
temos
.
Passo 3
Ainda nos axiomas de adição:
4. Elemento neutro : buscamos
tal que
4. Elemento neutro
Da componente
:
.
Da componente :
.
Logo o neutro é .
5. Inverso aditivo : dado
, queremos
com
Da componente
Logo o neutro é
5. Inverso aditivo
Daí
e
. Mas isto só existe se
. Para
não existe inverso.
Conclusão: não há inverso aditivo para todo par, logo falha.
Conclusão: não há inverso aditivo para todo par, logo
Passo 4
Verificação dos axiomas de multiplicação escalar:
- Fechamento
: para e ,
. - Identidade escalar
:
- Compatibilidade
:
Passo 5
Restam as duas leis de distributividade, ambas falhando:
-
sobre soma de vetores :
mas
não coincidem em geral
.
2. soma de escalares sobre vetores :
2. soma de escalares sobre vetores
enquanto
nitidamente diferentes.
Resposta
Propriedades satisfeitas:
• (fechamento da adição)
• (comutatividade da adição)
• (associatividade da adição)
• (existência de elemento neutro,
)
• (fechamento da multiplicação escalar)
• (identidade escalar)
• (compatibilidade de escalares)
•
•
•
•
•
•
•
Propriedades não satisfeitas:
• (inverso aditivo, falha para
)
• (distributividade escalar sobre soma de vetores)
• (distributividade de soma de escalares sobre vetores)
•
•
•