Seja
\begin{gathered} V=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}\} \\\ \text { OPERAÇÕES: } \begin{aligned} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+4, y_{1} \cdot y_{2}\right) \\\ \\\ \alpha\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(x_{1}, \alpha y_{1}\right) \operatorname{com} \alpha \in \mathbb{R} \end{aligned} \end{gathered}ÇÕ
Verifique quais propriedades de espaço vetorial o conjunto V satisfaz.

Passo 1

O enunciado define em V=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\} as operações
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2}+4,\;y_{1}y_{2}), \qquad \alpha\,(x_{1},y_{1})=(x_{1},\;\alpha\,y_{1}).
O que precisamos é verificar, uma a uma, as propriedades que caracterizam um espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
– Axiomas de adição A1 a A5,
– Axiomas de multiplicação escalar M1 a M5.

Passo 2

Verificação dos axiomas de adição em V:
  1. Fechamento A1: dado (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in V,
(x_{1}+x_{2}+4,\;y_{1}y_{2})
tem componentes em \mathbb{R}, logo está em V.
2. Comutatividade A2:
(x_{1}+x_{2}+4,\;y_{1}y_{2}) = (x_{2}+x_{1}+4,\;y_{2}y_{1}),
pois soma e produto em \mathbb{R} são comutativos.
3. Associatividade A3: para (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})+(x_{3},y_{3}) o componente em x em qualquer ordem fica
x_{1}+x_{2}+4+x_{3}+4 =x_{1}+x_{2}+x_{3}+8,
e em y temos (y_{1}y_{2})y_{3}=y_{1}(y_{2}y_{3}).

Passo 3

Ainda nos axiomas de adição:
4. Elemento neutro A4: buscamos (a,b) tal que
(x,y)+(a,b)=(x,y)\quad\forall(x,y).
Da componente x: x+a+4=x\implies a=-4.
Da componente y: y\,b=y\implies b=1.
Logo o neutro é \,( -4,\,1)\in V.
5. Inverso aditivo A5: dado (x,y), queremos (x',y') com
(x+x'+4,\;y\,y')=(-4,1).
Daí x'=-x-8 e y'=1/y. Mas isto só existe se y\neq0. Para (x,0) não existe inverso.
Conclusão: não há inverso aditivo para todo par, logo A5 falha.

Passo 4

Verificação dos axiomas de multiplicação escalar:
  1. Fechamento M1: para \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in V,
    \alpha(x,y)=(x,\alpha y)\in V.
  2. Identidade escalar M2:
1\,(x,y)=(x,1\cdot y)=(x,y).
  1. Compatibilidade M3:
(\alpha\beta)(x,y)=(x,(\alpha\beta)y) =\alpha\,(x,\beta y) =\alpha\bigl(\beta(x,y)\bigr).

Passo 5

Restam as duas leis de distributividade, ambas falhando:
  1. \alpha sobre soma de vetores M4:
\alpha\bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr) =\bigl(x_{1}+x_{2}+4,\;\alpha\,y_{1}y_{2}\bigr),
mas
\alpha(x_{1},y_{1})+\alpha(x_{2},y_{2}) =(x_{1},\alpha y_{1})+(x_{2},\alpha y_{2}) =(x_{1}+x_{2}+4,\;\alpha^{2}y_{1}y_{2}),
não coincidem em geral \alpha\neq\alpha^{2}.
2. soma de escalares sobre vetores M5:
(\alpha+\beta)(x,y)=(x,(\alpha+\beta)y),
enquanto
\alpha(x,y)+\beta(x,y) =(x,\alpha y)+(x,\beta y) =(2x+4,\;\alpha\beta\,y^{2}),
nitidamente diferentes.

Resposta

Propriedades satisfeitas:
A1 (fechamento da adição)
A2 (comutatividade da adição)
A3 (associatividade da adição)
A4 (existência de elemento neutro, (-4,1))
M1 (fechamento da multiplicação escalar)
M2 (identidade escalar)
M3 (compatibilidade de escalares)
Propriedades não satisfeitas:
A5 (inverso aditivo, falha para y=0)
M4 (distributividade escalar sobre soma de vetores)
M5 (distributividade de soma de escalares sobre vetores)

Exercícios relacionados