Seja A=\left(\begin{array}{cc}4 & -2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right).
a) Quais os autovalores e os autovetores da matriz?
b) A é diagonalizável?
c) Calcule A^{9}.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}
e pede:
– (a) autovalores e autovetores de A,
– (b) se A é diagonalizável,
– (c) a potência A^9.
O assunto é teoria de autovalores/autovetores e diagonalização de matrizes, além de uso do polinômio característico e do Teorema de Cayley–Hamilton para calcular potências.
(a) Os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_2=5, com autovetores correspondentes v_1=(1,2) e v_2=(-2,1).
(b) Sim, A é diagonalizável (tem dois autovetores independentes).
(c) \displaystyle A^9 =390625\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.