Seja A=\left(\begin{array}{cc}4 & -2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right).
a) Quais os autovalores e os autovetores da matriz?
b) A é diagonalizável?
c) Calcule A^{9}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}
e pede:
– (a) autovalores e autovetores de A,
– (b) se A é diagonalizável,
– (c) a potência A^9.
O assunto é teoria de autovalores/autovetores e diagonalização de matrizes, além de uso do polinômio característico e do Teorema de Cayley–Hamilton para calcular potências.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & -2\\\ -2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)(-2) =\lambda^2-5\lambda.
Logo, os autovalores são as raízes de \lambda^2-5\lambda=0, isto é,
\lambda_1=0, \quad \lambda_2=5.

Passo 3

Para cada autovalor, achamos um vetor não-nulo em (A-\lambda I)x=0.
– Se \lambda=0, a equação Ax=0
4x_1-2x_2=0\quad\Longrightarrow\quad x_2=2x_1.
Um autovetor é \displaystyle v_1=(1,2).
– Se \lambda=5, a equação (A-5I)x=0
-1\cdot x_1-2x_2=0\quad\Longrightarrow\quad x_1=-2x_2.
Um autovetor é \displaystyle v_2=(-2,1).

Passo 4

Como encontramos dois autovetores linearmente independentes \{v_1,v_2\} em \mathbb R^2, concluímos que A é diagonalizável.

Passo 5

Para calcular A^9 sem expandir muitas multiplicações, usamos o fato de que
A^2 = \begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}20 & -10\\\ -10 & 5\end{pmatrix} =5\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix} =5A.
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton (ou indução), segue-se
A^n =5^{\,n-1}A \quad(n\ge1).
Em particular,
A^9 =5^8\,A.
Como 5^8=390625, obtemos
A^9 =390625 \begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_2=5, com autovetores correspondentes v_1=(1,2) e v_2=(-2,1).
(b) Sim, A é diagonalizável (tem dois autovetores independentes).
(c) \displaystyle A^9 =390625\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.

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