Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas:
y^prime prime-2 y^prime+2 y=0 ; y(0)=1 ; y(pi)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = 0
sujeita às condições de contorno y(0)=1 e y(pi)=1. Vamos usar a técnica da equação característica para obter a solução geral e depois impor as condições.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 - 2r + 2 = 0
Calculando o discriminante De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot2 = -4, obtemos raízes complexas conjugadas
r = 1 pm i

Passo 3

Para raízes da forma apm bi a solução geral é
y(x) = e^axl(C1cos(bx) + C2sin(bx)r)
Aqui a=1 e b=1, logo
y(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 4

Aplicando y(0)=1 temos
y(0) = e^0l(C1cos0 + C2sin0r) = C1 = 1
Portanto C1 = 1.

Passo 5

Aplicando y(pi)=1 obtemos
y(pi) = e^pil(1cdotcospi + C2sinpir) = e^pi(-1 + 0cdot C2) = -e^pi
Para ter y(pi)=1 seria preciso -e^pi=1, o que não ocorre para nenhum C2.

Passo 6

Como não há escolha de C2 que satisfaça -e^pi=1, concluímos que não existe solução da equação diferencial que atenda simultaneamente y(0)=1 e y(pi)=1.

Resposta

Não existe solução que satisfaça as condições de contorno dadas.

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