Esboçar o gráfico das funçōes:
f(x, y)=2+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície definida por
z = f(x,y) = 2 + y^{2}.
O conteúdo aqui é de superfícies em três dimensões. Para desenhar, vamos usar seções planas (cross‐sections) em planos paralelos a x e a y.

Passo 2

Observe que \,f(x,y) não depende de x. Isso significa que, para qualquer valor de x, a curva no plano y\!z é a mesma. Geometricamente, a superfície se estende indefinidamente no sentido do eixo x.

Passo 3

Corte em um plano x = x_{0}. Nesse plano, a equação fica
z = 2 + y^{2},
que é uma parábola no plano y\!z, com vértice em (y=0,z=2) e que se abre para cima.

Passo 4

Corte em um plano y = y_{0}. Nesse caso,
z = 2 + y_{0}^{2}
é constante, logo a intersecção é uma reta paralela ao eixo x situada na altura z=2+y_{0}^{2}.

Passo 5

Ao reunir todas essas seções, obtemos uma superfície gerada pelas parábolas z=2+y^{2} “arrastadas” ao longo do eixo x. Essa superfície é chamada de cilindro parabólico.

Resposta

O gráfico de \,f(x,y)=2+y^{2} é um cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo x, cujas seções em planos x=\text{constante} são parábolas z=2+y^{2} e cujas seções em planos y=\text{constante} são retas paralelas ao eixo x.

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