Esboçar o gráfico das funçōes:
f(x, y)=-1-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x,y) = -1 \;-\; x^2 \;-\; y^2
Conteúdo: visualização de superfícies quadráticas em \mathbb{R}^3. Vamos reconhecer a forma e obter cortes e curvas de nível para depois desenhar o esboço.

Passo 2

Reescrevendo como altura z em função de (x,y), temos
z = -1 - x^2 - y^2.
Isso é da forma padrão
z = a - (x^2 + y^2),
com a=-1. Logo trata-se de um paraboloide circular reto voltado para baixo, com vértice em (0,0,-1).

Passo 3

Analisando cortes pelos planos coordenados:
- Para y=0, z = -1 - x^2: é uma parábola voltada para baixo no plano xz.
- Para x=0, z = -1 - y^2: é uma parábola voltada para baixo no plano yz.

Passo 4

As curvas de nível são dadas por
f(x,y) = c \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = -1 - c.
Para cada c\le -1, isso é um círculo de raio
R\text{(c)} = \sqrt{-1 - c}
no plano z=c. À medida que c decresce abaixo de -1, os círculos crescem.

Passo 5

No esboço, primeiro marque o vértice (0,0,-1). Desenhe as parábolas de seção nos planos y=0 e x=0. Acrescente algumas curvas de nível paralelas ao plano xy, círculos concêntricos centrados na projeção (0,0). Una tudo formando um “chapéu” voltado para baixo.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=-1-x^2-y^2 é um paraboloide circular reto voltado para baixo, com vértice em (0,0,-1) e curvas de nível circulares centradas em (0,0).

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