Esboçar a região de continuidade das seguintes funções:
f(x, y, z)=\frac{x z+2 y z-x^{2}}{\sqrt{z+x^{2}+y^{2}-3}}

Passo 1

O enunciado pede a região em que
f(x,y,z)=\frac{xz+2yz - x^{2}}{\sqrt{\,z + x^{2} + y^{2} - 3\,}}
é contínua.
Conteúdo: continuidade de função de várias variáveis, quociente e raiz. Para isso precisamos achar o domínio de f — isto é, onde o denominador existe e não se anula.

Passo 2

Identificamos o denominador
\sqrt{\,Q(x,y,z)\,},\quad Q(x,y,z)=z + x^{2} + y^{2} - 3.
Para a raiz existir e ser não nula no denominador, é necessário
Q(x,y,z)>0.

Passo 3

Da desigualdade Q(x,y,z)>0 segue
z + x^{2} + y^{2} - 3 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z > 3 - x^{2} - y^{2}.
Logo o domínio de f é
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z > 3 - x^{2} - y^{2}\bigr\}.

Passo 4

Geometricamente, z=3 - x^{2}-y^{2} é um paraboloide que se abre para baixo, com vértice em (0,0,3). A região z>3 - x^{2}-y^{2} é o interior acima desse paraboloide, sem incluir a “tampa” onde a raiz se anula.

Passo 5

Como o numerador xz+2yz-x^2 é polinomial (contínuo em toda parte) e o denominador \sqrt{Q} é contínuo e não nulo em D, a quociente também é contínuo em todo ponto de D.

Resposta

A região de continuidade de f é
\boxed{\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z > 3 - x^{2} - y^{2}\bigr\}.}

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