Esboçar as superfícies de nível de f, para os seguintes valores de k.
b) f(x, y, z) = 4 x^2 + y^2 + 9 z^2, k = 0, 1, 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as superfícies de nível da função para os valores de . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde a gente estuda superfícies no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de superfícies quadráticas, especificamente elipsoides.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível de uma função é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . No nosso caso, temos .

Passo 3

Vamos começar com . Substituímos na equação:
Como todos os termos são quadrados e, portanto, não negativos, a única solução possível é:
Isso significa que, para , a superfície de nível é apenas o ponto de coordenadas .

Passo 4

Agora, vamos para . A equação fica:
Para facilitar a visualização, vamos reescrever essa equação dividindo cada termo por 1:
Essa é a equação de um elipsoide centrado na origem, com os semi-eixos:
Isso significa que o elipsoide se estende unidades no eixo , 1 unidade no eixo e unidades no eixo .

Passo 5

Por fim, para , temos:
Dividindo cada termo por 2 para padronizar:
Esse também é um elipsoide centrado na origem, mas agora com os semi-eixos:
Comparado ao caso de , esse elipsoide é maior, pois o valor de aumentou.

Resposta

Para , a superfície de nível é o ponto . Para e , as superfícies de nível são elipsoides centrados na origem, com semi-eixos de comprimento e respectivamente.

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