Esboçar as superfícies de nível de
, para os seguintes valores de
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as superfícies de nível da função
para os valores de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde a gente estuda superfícies no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de superfícies quadráticas, especificamente elipsoides.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível de uma função
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. No nosso caso, temos
.
Passo 3
Vamos começar com
. Substituímos na equação:
Como todos os termos são quadrados e, portanto, não negativos, a única solução possível é:
Isso significa que, para
, a superfície de nível é apenas o ponto de coordenadas
.
Passo 4
Agora, vamos para
. A equação fica:
Para facilitar a visualização, vamos reescrever essa equação dividindo cada termo por 1:
Essa é a equação de um elipsoide centrado na origem, com os semi-eixos:
Isso significa que o elipsoide se estende
unidades no eixo
, 1 unidade no eixo
e
unidades no eixo
.
Passo 5
Por fim, para
, temos:
Dividindo cada termo por 2 para padronizar:
Esse também é um elipsoide centrado na origem, mas agora com os semi-eixos:
Comparado ao caso de
, esse elipsoide é maior, pois o valor de
aumentou.
Resposta
Para
, a superfície de nível é o ponto
. Para
e
, as superfícies de nível são elipsoides centrados na origem, com semi-eixos de comprimento
e
respectivamente.