Esboçar as superfícies de nível de
, para os seguintes valores de
.
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para esboçar as superfícies de nível da função
para os valores de
. A matéria envolvida é superfícies de nível em funções de várias variáveis. A gente vai precisar entender o que são superfícies de nível e como encontrar essas superfícies para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. É basicamente o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Então, para cada valor de
, a gente tem uma superfície diferente.
Passo 3
Vamos começar substituindo o valor de
na função. Temos:
Para resolver isso, precisamos isolar
. Fazendo isso, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora, a equação
nos diz o que estamos lidando. Isso é a equação de uma esfera com raio
e centro na origem
. Então, essencialmente, para cada valor de
, a gente tem uma esfera com raio determinado por
.
Passo 5
Vamos aplicar isso para cada valor de
:
-
Para
: Isso significa que o raio é. Então, a superfície de nível é apenas um ponto na origem. -
Para
: Aqui, o raio é. Então, a superfície de nível é uma esfera com raio aproximadamente 0,832 unidades. -
Para
: O raio aqui é. Portanto, a superfície de nível é uma esfera com raio aproximadamente 1,048 unidades.
Resposta
As superfícies de nível da função
para
são esferas centradas na origem com raios
,
e
, respectivamente.