Esboçar as superfícies de nível de f, para os seguintes valores de k.
e) f(x, y, z) = e^(x^2 + y^2 + z^2), k = 1, 2, 3.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para esboçar as superfícies de nível da função para os valores de . A matéria envolvida é superfícies de nível em funções de várias variáveis. A gente vai precisar entender o que são superfícies de nível e como encontrar essas superfícies para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. É basicamente o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Então, para cada valor de , a gente tem uma superfície diferente.

Passo 3

Vamos começar substituindo o valor de na função. Temos:
Para resolver isso, precisamos isolar . Fazendo isso, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora, a equação nos diz o que estamos lidando. Isso é a equação de uma esfera com raio e centro na origem . Então, essencialmente, para cada valor de , a gente tem uma esfera com raio determinado por .

Passo 5

Vamos aplicar isso para cada valor de :
  1. Para :
    Isso significa que o raio é . Então, a superfície de nível é apenas um ponto na origem.
  2. Para :
    Aqui, o raio é . Então, a superfície de nível é uma esfera com raio aproximadamente 0,832 unidades.
  3. Para :
    O raio aqui é . Portanto, a superfície de nível é uma esfera com raio aproximadamente 1,048 unidades.

Resposta

As superfícies de nível da função para são esferas centradas na origem com raios , e , respectivamente.

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