Esboçar as superfícies de nível de f, para os seguintes valores de k.
a) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2, k = 0, 1, 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar as superfícies de nível da função para os valores de . Superfícies de nível são basicamente conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Para resolver, vamos precisar entender como essas superfícies se comportam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis como , uma superfície de nível para um valor específico de é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação . No nosso caso, a equação fica:

Passo 3

Vamos analisar cada valor de separadamente começando por .
Para :
A única solução para essa equação é , , e . Ou seja, a superfície de nível para é apenas o ponto de origem no espaço (0,0,0).

Passo 4

Agora, para :
Essa é a equação de uma esfera com raio e centrada na origem. Então, a superfície de nível para é uma esfera de raio 1 centrada no ponto (0,0,0).

Passo 5

Por último, para :
Aqui, temos novamente a equação de uma esfera, mas agora com raio . Portanto, a superfície de nível para é uma esfera de raio também centrada na origem.

Resposta

As superfícies de nível da função são:
  • Para : um único ponto na origem.
  • Para : uma esfera de raio 1 centrada na origem.
  • Para : uma esfera de raio centrada na origem.

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