Esboçar as superfícies de nível de
, para os seguintes valores de
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar as superfícies de nível da função
para os valores de
. Superfícies de nível são basicamente conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante
. Para resolver, vamos precisar entender como essas superfícies se comportam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis como
, uma superfície de nível para um valor específico de
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação
. No nosso caso, a equação fica:
Passo 3
Vamos analisar cada valor de
separadamente começando por
.
Para
:
A única solução para essa equação é
,
, e
. Ou seja, a superfície de nível para
é apenas o ponto de origem no espaço (0,0,0).
Passo 4
Agora, para
:
Essa é a equação de uma esfera com raio
e centrada na origem. Então, a superfície de nível para
é uma esfera de raio 1 centrada no ponto (0,0,0).
Passo 5
Por último, para
:
Aqui, temos novamente a equação de uma esfera, mas agora com raio
. Portanto, a superfície de nível para
é uma esfera de raio
também centrada na origem.
Resposta
As superfícies de nível da função
são:
- Para
: um único ponto na origem. - Para
: uma esfera de raio 1 centrada na origem. - Para
: uma esfera de raio centrada na origem.