As funções a seguir são contínuas ou descontínuas? Em caso de descontinuidade, diga se são removíveis ou essenciais e redefina a função, quando for possível, de forma a ter uma função contínua.
a) f(x) = (x^2 + x - 6) / (x^2 - 4) em x = 2;
b) f(x) = { x² - 1, x < 3; 2x, x ≥ 3 };
c) f(x) = (x^2 - 16) / (x^2 - 3x - 4) em x = 4;
d) f(x)=(x^2+3x-10)/(x-2) em x = 2;
e) f(x) = { x, se x < -2; x², se x ≥ -2 }.

Passo 1

Resumo da questão: Vamos verificar se as funções apresentadas são contínuas ou têm descontinuidades em pontos específicos. Se houver descontinuidade, identificaremos se ela é removível (um buraco que podemos “preencher”) ou essencial (uma quebra que não dá para consertar). Quando possível, vamos redefinir a função para torná-la contínua nesses pontos.

Passo 2

a) em .
Primeiro, vamos ver se a função está definida em :
  • Denominador: quando . Então, o denominador é zero em , indicando uma possível descontinuidade.
  • Numerador: quando :
    Como ambos, numerador e denominador, são zero em , há uma descontinuidade removível.
Agora, vamos fatorar e simplificar a função:
  • Numerador:
  • Denominador:
Cancelando o fator comum :
Para tornar a fun��ão contínua em , definimos:

Passo 3

b)
Vamos verificar a continuidade em :
  • Limite pela esquerda (quando se aproxima de 3 vindo de baixo):
  • Limite pela direita (quando se aproxima de 3 vindo de cima):
Como os limites são diferentes ( ), há uma descontinuidade do tipo salto em , que é essencial. Não podemos redefinir para tornar a função contínua nesse ponto.

Passo 4

c) em .
Primeiro, verificamos o denominador:
O denominador é zero em . Agora, o numerador:
Ambos são zero, indicando uma descontinuidade removível.
Vamos fatorar e simplificar:
  • Numerador:
  • Denominador:
Cancelando :
Para tornar contínua em :

Passo 5

d) em .
Primeiro, verificamos o denominador:
O denominador é zero. Agora, o numerador:
Ambos são zero, indicando uma descontinuidade removível.
Vamos fatorar o numerador:
Cancelando :
Para tornar contínua em :

Passo 6

e)
Vamos verificar a continuidade em :
  • Limite pela esquerda (quando se aproxima de -2 vindo de baixo):
  • Limite pela direita (quando se aproxima de -2 vindo de cima):
Os limites são diferentes ( ), então há uma descontinuidade do tipo salto em , que é essencial. Não podemos redefinir para tornar a função contínua nesse ponto.

Resposta

a) Descontinuidade removível em . Redefinindo , a função torna-se contínua.
b) Descontinuidade essencial (salto) em . Não é possível tornar a função contínua.
c) Descontinuidade removível em . Redefinindo , a função torna-se contínua.
d) Descontinuidade removível em . Redefinindo , a função torna-se contínua.
e) Descontinuidade essencial (salto) em . Não é possível tornar a função contínua.

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