As funções a seguir são contínuas ou descontínuas? Em caso de descontinuidade, diga se são removíveis ou essenciais e redefina a função, quando for possível, de forma a ter uma função contínua.
a)
em
;
b)
;
c)
em
;
d)
em
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Resumo da questão: Vamos verificar se as funções apresentadas são contínuas ou têm descontinuidades em pontos específicos. Se houver descontinuidade, identificaremos se ela é removível (um buraco que podemos “preencher”) ou essencial (uma quebra que não dá para consertar). Quando possível, vamos redefinir a função para torná-la contínua nesses pontos.
Passo 2
a)
em
.
Primeiro, vamos ver se a função está definida em
:
-
Denominador:
quando . Então, o denominador é zero em , indicando uma possível descontinuidade. -
Numerador:
quando : Como ambos, numerador e denominador, são zero em, há uma descontinuidade removível.
Agora, vamos fatorar e simplificar a função:
- Numerador:
- Denominador:
Cancelando o fator comum
:
Para tornar a fun��ão contínua em
, definimos:
Passo 3
b)
Vamos verificar a continuidade em
:
-
Limite pela esquerda (quando
se aproxima de 3 vindo de baixo): -
Limite pela direita (quando
se aproxima de 3 vindo de cima):
Como os limites são diferentes (
≠
), há uma descontinuidade do tipo salto em
, que é essencial. Não podemos redefinir
para tornar a função contínua nesse ponto.
Passo 4
c)
em
.
Primeiro, verificamos o denominador:
O denominador é zero em
. Agora, o numerador:
Ambos são zero, indicando uma descontinuidade removível.
Vamos fatorar e simplificar:
- Numerador:
- Denominador:
Cancelando
:
Para tornar contínua em
:
Passo 5
d)
em
.
Primeiro, verificamos o denominador:
O denominador é zero. Agora, o numerador:
Ambos são zero, indicando uma descontinuidade removível.
Vamos fatorar o numerador:
Cancelando
:
Para tornar contínua em
:
Passo 6
e)
Vamos verificar a continuidade em
:
-
Limite pela esquerda (quando
se aproxima de -2 vindo de baixo): -
Limite pela direita (quando
se aproxima de -2 vindo de cima):
Os limites são diferentes (
≠
), então há uma descontinuidade do tipo salto em
, que é essencial. Não podemos redefinir
para tornar a função contínua nesse ponto.
Resposta
a) Descontinuidade removível em
. Redefinindo
, a função torna-se contínua.
b) Descontinuidade essencial (salto) em
. Não é possível tornar a função contínua.
c) Descontinuidade removível em
. Redefinindo
, a função torna-se contínua.
d) Descontinuidade removível em
. Redefinindo
, a função torna-se contínua.
e) Descontinuidade essencial (salto) em
. Não é possível tornar a função contínua.