Utilizando o método de Frobenius, achar as soluções ao redor do ponto singular regular x 0 = 0 das seguintes EDOs: 2 x y'' - y' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Frobenius. O enunciado é encontrar as soluções da EDO ao redor do ponto singular regular . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos singulares, a forma padrão das soluções no Método de Frobenius e como montar a equação indicial.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo toda a equação original por , temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Como é um ponto singular regular, vamos assumir uma solução da forma:
onde é um número que vamos determinar e são coeficientes a serem encontrados.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial padrão:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Agora, vamos igualar os coeficientes de potências iguais de a zero. Primeiro, observamos o menor expoente de , que ocorre quando :
Substituindo :
Fatorando :

Passo 7

As soluções para a equação acima são:
Esses valores de são chamados de raízes da equação indicial e nos dão duas soluções lineares independentes para a EDO.

Passo 8

Portanto, as soluções ao redor do ponto são:

Resposta

As soluções da EDO ao redor de utilizando o Método de Frobenius são:

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