Utilizando o método de Frobenius, achar as soluções ao redor do ponto singular regular
das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Frobenius. O enunciado é encontrar as soluções da EDO
ao redor do ponto singular regular
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos singulares, a forma padrão das soluções no Método de Frobenius e como montar a equação indicial.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo toda a equação original por
, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Como
é um ponto singular regular, vamos assumir uma solução da forma:
onde
é um número que vamos determinar e
são coeficientes a serem encontrados.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial padrão:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Agora, vamos igualar os coeficientes de potências iguais de
a zero. Primeiro, observamos o menor expoente de
, que ocorre quando
:
Substituindo
:
Fatorando
:
Passo 7
As soluções para a equação acima são:
Esses valores de
são chamados de raízes da equação indicial e nos dão duas soluções lineares independentes para a EDO.
Passo 8
Portanto, as soluções ao redor do ponto
são:
Resposta
As soluções da EDO
ao redor de
utilizando o Método de Frobenius são: