Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\gamma_{5}(t)=\left(t^{2}, t\right)

Passo 1

O enunciado pede que esbocemos a curva traçada pela partícula cuja posição em função do tempo é \gamma_{5}(t)=(t^{2},t).
O conteúdo aqui é estudo de curvas paramétricas no plano: vamos precisar identificar o domínio de t, eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana, selecionar pontos-chave e determinar o sentido do movimento.

Passo 2

Observamos que o parâmetro t varia em todo o conjunto dos números reais, ou seja, t\in\mathbb{R}. Para entender como a curva se comporta, calculamos alguns pontos notáveis:
t=- 2\to \gamma_{5}(-2)=(4,-2) t=- 1\to \gamma_{5}(-1)=(1,-1) t =0\to \gamma_{5}(0)=(0,0) t =1\to \gamma_{5}(1)=(1,1) t =2\to \gamma_{5}(2)=(4,2)

Passo 3

Para eliminar o parâmetro, note que y=t. Substituindo em x=t^{2} obtemos a relação cartesiana
x = y^{2}.
Portanto, a curva é uma parábola voltada para a direita, com vértice em (0,0).

Passo 4

O sentido de variação segue o aumento de t: para t\to -\infty a partícula vem de pontos altos à direita no semiplano y<0, atravessa o vértice em t=0 e prossegue subindo pelo ramo positivo da parábola conforme t\to+\infty.

Passo 5

No esboço, desenhe o eixo x horizontal, o eixo y vertical, marque os pontos listados no Passo 2 e trace a curva x=y^{2}. Indique setas que vão de baixo para cima passando por (0,0).

Resposta

A trajetória é a parábola
x = y^{2}
orientada de baixo para cima ao longo do eixo y.

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