Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\gamma_{4}(t)=(5+2 \cos t) \vec{\imath}+(5+2 \operatorname{sen} t) \vec{\jmath} \quad Lembrete: \operatorname{sen}^{2} t+\cos ^{2} t=1

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização da partícula P por
\gamma_{4}(t)=(5+2\cos t)\,\vec{\imath}+(5+2\sin t)\,\vec{\jmath}
e pede o esboço da trajetória. O conteúdo é curva paramétrica e vamos precisar eliminar o parâmetro usando a identidade trigonométrica \sin^2t+\cos^2t=1.

Passo 2

Escrevendo as componentes paramétricas:
x(t)=5+2\cos t, \quad y(t)=5+2\sin t.
Subtraindo 5 de cada:
x-5=2\cos t, \quad y-5=2\sin t.

Passo 3

Elevando ao quadrado e somando, usamos \sin^2t+\cos^2t=1:
(x-5)^2 + (y-5)^2 = (2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 =4(\cos^2t+\sin^2t) =4.
Logo a trajetória satisfaz
(x-5)^2 + (y-5)^2 =4,
que é um círculo de centro (5,5) e raio 2.

Passo 4

Para a orientação, note que em t=0 temos
(x,y)=(5+2,\,5+0)=(7,5)
e, à medida que t cresce, o par (\cos t,\sin t) percorre o círculo no sentido anti-horário.

Resposta

A trajetória é o círculo de centro (5,5) e raio 2, percorrido no sentido anti-horário, começando em (7,5).

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