Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\vec{f}(t)=\left(2+e^{-t}, 3-e^{t}\right), t \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a função vetor da posição da partícula P:
\vec{f}(t)=\bigl(2+e^{-t},\;3-e^{t}\bigr),\qquad t\ge 0.
O que nos pedem é esboçar a trajetória da partícula — isto é, descrever geometricamente a curva no plano que é percorrida por P quando t varia em [0,\infty). Lista das informações úteis que já temos:
  • A posição em cada instante t é o par \bigl(x(t),y(t)\bigr) com x(t)=2+e^{-t} e y(t)=3-e^{t}.
  • O parâmetro t varia em [0,\infty).
  • Precisamos também indicar orientação (sentido do movimento) e comportamento limite (onde começa e para onde vai quando t\to\infty).

Passo 2

Achar pontos notáveis: o ponto inicial ( t=0) e o comportamento quando t\to\infty.
  • Em t=0: x(0)=2+e^{0}=2+1=3 e y(0)=3-e^{0}=3-1=2. Portanto o ponto inicial é \bigl(3,2\bigr).
  • Quando t\to\infty: e^{-t}\to 0 e e^{t}\to\infty. Então x(t)\to 2^{+} (aproxima-se de 2 pela direita) e y(t)\to -\infty. Ou seja, a curva se aproxima da reta vertical x=2 enquanto y vai para -\infty.

Passo 3

Eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana da trajetória (fazer uma relação y em função de x).
  • Começo com x=2+e^{-t}. Então
e^{-t}=x-2.
  • Como e^{t} é o inverso de e^{-t}, temos
e^{t}=\frac{1}{e^{-t}}=\frac{1}{x-2}.
  • Agora uso y=3-e^{t} e substituo e^{t} obtido:
y=3-\frac{1}{x-2}.
Esta é a equação cartesiana da curva.

Passo 4

Manipular a equação para uma forma que deixe clara a natureza da curva:
y-3=-\frac{1}{x-2}
multiplicando ambos os lados por (x-2) (atenção: isso exige x\neq 2):
(x-2)(y-3)=-1.
Esta forma mostra que a curva é uma hipérbole rectangular deslocada (produto dos deslocamentos constante).

Passo 5

Determinar domínio e imagem da curva, usando as restrições do parâmetro t.
  • Como e^{-t}\in(0,1] para t\ge 0, temos x=2+e^{-t}\in(2,3]. Então o domínio efetivo da parte da hipérbole traçada é
2<x\le 3.
  • Em consequência, como y=3-e^{t} e e^{t}\in[1,\infty), obtemos y\in(-\infty,2]. Em particular o ponto inicial (3,2) está no extremo superior da curva (quando t=0).

Passo 6

Identificar assíntotas e centro da hipérbole:
  • A forma (x-2)(y-3)=-1 indica que o “centro” matemático (o ponto de simetria da hipérbole completa) é (2,3).
  • As retas x=2 e y=3 atuam como assíntotas retangulares da hipérbole (quando x\to 2 a magnitude de y cresce sem limite e quando x\to\infty temos y\to 3).
  • Para o nosso ramo paramétrico observamos x em (2,3], portanto o ramo percorre a região com x>2 e y<3, isto é, abaixo de y=3 e à direita de x=2.

Passo 7

Determinar a orientação (sentido do movimento) e a inclinação (coeficiente angular) da trajetória:
  • Derivando componente a componente:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2+e^{-t}\bigr)=-e^{-t},
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3-e^{t}\bigr)=-e^{t}.
Portanto o vetor velocidade é
\vec{v}(t)=\vec{f}\,'(t)=\bigl(-e^{-t},\; -e^{t}\bigr).
Ambas as componentes são negativas para t\ge 0, então a partícula se move para a esquerda e para baixo (sentido sul-oeste no plano) à medida que t aumenta.
  • A inclinação da tangente (derivada dy/dx) é
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{-e^{t}}{-e^{-t}}=e^{2t}.
Isto é sempre positiva e cresce com t. Em t=0 a inclinação é e^{0}=1 (45° descendente para a esquerda); para t grande a tangente fica muito íngreme (grande inclinação positiva), o que significa que a curva desce cada vez mais verticalmente enquanto se aproxima de x=2.

Passo 8

Calcular alguns pontos práticos para ajudar no esboço:
  • t=0: já temos (3,2).
  • t=1: x=2+e^{-1}=2+\dfrac{1}{e}\approx 2{,}3679, y=3-e\approx 3-2{,}7183\approx 0{,}2817. Então ponto aproximado \bigl(2{,}368,\;0{,}282\bigr).
  • t=\ln 3 (para ver o eixo y=0): e^{t}=3 então y=0 e x=2+e^{-t}=2+\tfrac{1}{3}=2{,}333.
  • t=2: x\approx 2+e^{-2}\approx 2{,}1353, y\approx 3-e^{2}\approx 3-7{,}389\approx -4{,}389.
    Esses pontos mostram o movimento: de (3,2) passa por cerca de (2{,}37,0{,}28), corta o eixo y=0 em (2{,}333,0) e depois cai rapidamente para valores negativos de y enquanto x se aproxima de 2.

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar na prova sem calculadora):
  1. Desenhe o ponto (2,3) como referência (centro da hipérbole) e trace as retas tracejadas x=2 e y=3 (assíntotas).
  2. Marque o ponto inicial (3,2).
  3. Marque os pontos de amostra que calculamos, por exemplo (2{,}37,0{,}28) e (2{,}33,0).
  4. Desenhe a curva que passa por esses pontos, sempre à direita da reta x=2 e abaixo da reta y=3, aproximando-se verticalmente de x=2 quando desce muito.
  5. Coloque uma seta na curva indicando o sentido do movimento: começa em (3,2) quando t=0 e vai para baixo-esquerda, aproximando-se de x=2 e indo para y\to -\infty conforme t\to\infty.

Resposta

Equação cartesiana da trajetória: y=3-\dfrac{1}{x-2}, com 2<x\le 3.\nPonto inicial: (3,2) em t=0.\nOrientação: a partícula vai de (3,2) para a esquerda em direção à assíntota vertical x=2, com y\to -\infty quando t\to\infty.

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