Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado dá a função vetor da posição da partícula
:
O que nos pedem é esboçar a trajetória da partícula — isto é, descrever geometricamente a curva no plano que é percorrida por
quando
varia em
. Lista das informações úteis que já temos:
- A posição em cada instante
é o par com e . - O parâmetro
varia em . - Precisamos também indicar orientação (sentido do movimento) e comportamento limite (onde começa e para onde vai quando
).
Passo 2
Achar pontos notáveis: o ponto inicial (
) e o comportamento quando
.
- Em
: e . Portanto o ponto inicial é . - Quando
: e . Então (aproxima-se de pela direita) e . Ou seja, a curva se aproxima da reta vertical enquanto vai para .
Passo 3
Eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana da trajetória (fazer uma relação
em função de
).
- Começo com
. Então
- Como
é o inverso de , temos
- Agora uso
e substituo obtido:
Esta é a equação cartesiana da curva.
Passo 4
Manipular a equação para uma forma que deixe clara a natureza da curva:
multiplicando ambos os lados por
(atenção: isso exige
):
Esta forma mostra que a curva é uma hipérbole rectangular deslocada (produto dos deslocamentos constante).
Passo 5
Determinar domínio e imagem da curva, usando as restrições do parâmetro
.
- Como
para , temos . Então o domínio efetivo da parte da hipérbole traçada é
- Em consequência, como
e , obtemos . Em particular o ponto inicial está no extremo superior da curva (quando ).
Passo 6
Identificar assíntotas e centro da hipérbole:
- A forma
indica que o “centro” matemático (o ponto de simetria da hipérbole completa) é . - As retas
e atuam como assíntotas retangulares da hipérbole (quando a magnitude de cresce sem limite e quando temos ). - Para o nosso ramo paramétrico observamos
em , portanto o ramo percorre a região com e , isto é, abaixo de e à direita de .
Passo 7
Determinar a orientação (sentido do movimento) e a inclinação (coeficiente angular) da trajetória:
- Derivando componente a componente:
Portanto o vetor velocidade é
Ambas as componentes são negativas para
, então a partícula se move para a esquerda e para baixo (sentido sul-oeste no plano) à medida que
aumenta.
- A inclinação da tangente (derivada
) é
Isto é sempre positiva e cresce com
. Em
a inclinação é
(45° descendente para a esquerda); para
grande a tangente fica muito íngreme (grande inclinação positiva), o que significa que a curva desce cada vez mais verticalmente enquanto se aproxima de
.
Passo 8
Calcular alguns pontos práticos para ajudar no esboço:
-
: já temos . -
: , . Então ponto aproximado . -
(para ver o eixo ): então e . -
: , .
Esses pontos mostram o movimento: depassa por cerca de , corta o eixo em e depois cai rapidamente para valores negativos de enquanto se aproxima de .
Passo 9
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar na prova sem calculadora):
- Desenhe o ponto
como referência (centro da hipérbole) e trace as retas tracejadas e (assíntotas). - Marque o ponto inicial
. - Marque os pontos de amostra que calculamos, por exemplo
e . - Desenhe a curva que passa por esses pontos, sempre à direita da reta
e abaixo da reta , aproximando-se verticalmente de quando desce muito. - Coloque uma seta na curva indicando o sentido do movimento: começa em
quando e vai para baixo-esquerda, aproximando-se de e indo para conforme .
Resposta
Equação cartesiana da trajetória:
, com
.\nPonto inicial:
em
.\nOrientação: a partícula vai de
para a esquerda em direção à assíntota vertical
, com
quando
.