Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a trajetória da partícula
cuja posição em função do tempo é
Informações dadas que vamos usar:
- A componente
. - A componente
. - O parâmetro
varia por todos os reais, então a partícula repete seu movimento periodicamente.
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva descrita por esses pares, indicar pontos importantes e a direção do movimento.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro para encontrar uma equação entre
e
. Começo relacionando
e
:
Como
, substituo:
Agora calculo
:
Portanto a relação entre
e
é
Passo 3
Interpretação geométrica da equação obtida:
- A equação
é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em . - Contudo
só assume valores em . Logo a partícula descreve apenas o trecho da parábola para . - Valores extremos: para
temos ; para temos . Assim o arco vai de passando por até .
Passo 4
Calculo alguns pontos correspondentes a valores concretos de
(útil para o esboço):
- Para
: , . Então . - Para
: , . Então . - Para
: , . Então . - Para
: , .
Esses pontos confirmam que a partícula vai dea passando por , e depois retorna.
Passo 5
Determino a orientação (direção) com
crescente:
- Em
a função cresce de a , então a partícula move-se de para passando por . - Em
a função decresce de a , então a partícula volta de para . - Assim o movimento é oscilatório: a curva é percorrida para frente e para trás periodicamente (com período
).
Passo 6
Examinação da velocidade (vetor tangente) para entender paradas e reversões:
- Quando
(ou seja ) temos . Esses valores correspondem a e , os extremos onde a partícula para momentaneamente e inverte o sentido. - Para outros
a partícula tem velocidade não nula e tangente definida pela expressão acima.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
- Desenhe eixos cartesianos.
- Marque
no eixo e no eixo . - Plote os pontos
, e . - Trace o arco da parábola
que passa por esses pontos (apenas para ). - Coloque setas ao longo do arco indicando a direção: de
para quando vai de a , e depois de volta (oscilação). - Opcional: marque os instantes
junto aos pontos para associar tempo ao desenho.
Dica: a curva fica presa no retângulo, então não precisa desenhar além disso.
Passo 8
Resumo didático curto para decorar: a eliminação do parâmetro produziu
e a condição
restringe
a
. Assim a trajetória é o arco da parábola
entre
e
, percorrido continuamente para frente e para trás com paradas momentâneas nos extremos.
Resposta
Trajetória: o arco da parábola
para
, ou seja o segmento curvo ligando
a
com vértice em
, percorrido periodicamente (vai de
a
quando
cresce em
e depois volta), com paradas instantâneas em
e
.