Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\vec{f}(t)=\left(\operatorname{sen} t, \cos ^{2} t+2\right), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a trajetória da partícula P cuja posição em função do tempo é
\vec{f}(t)=\bigl(\sin t,\;\cos^{2}t+2\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A componente x(t)=\sin t.
  • A componente y(t)=\cos^{2}t+2.
  • O parâmetro t varia por todos os reais, então a partícula repete seu movimento periodicamente.
    A tarefa é desenhar (esboçar) a curva descrita por esses pares (x(t),y(t)), indicar pontos importantes e a direção do movimento.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro para encontrar uma equação entre x e y. Começo relacionando \sin t e \cos^{2}t:
x=\sin t \implies \sin^{2}t=x^{2}.
Como \cos^{2}t=1-\sin^{2}t, substituo:
\cos^{2}t=1-x^{2}.
Agora calculo y:
y=\cos^{2}t+2=(1-x^{2})+2=3-x^{2}.
Portanto a relação entre x e y é
y=3-x^{2}.

Passo 3

Interpretação geométrica da equação obtida:
  • A equação \;y=3-x^{2}\; é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (0,3).
  • Contudo x=\sin t só assume valores em [-1,1]. Logo a partícula descreve apenas o trecho da parábola para x\in[-1,1].
  • Valores extremos: para x=\pm1 temos y=3-1=2; para x=0 temos y=3. Assim o arco vai de (-1,2) passando por (0,3) até (1,2).

Passo 4

Calculo alguns pontos correspondentes a valores concretos de t (útil para o esboço):
  • Para t=-\tfrac{\pi}{2}: \sin t=-1, \cos^{2}t=0. Então \vec{f}\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1,2).
  • Para t=0: \sin 0=0, \cos^{2}0=1. Então \vec{f}(0)=(0,3).
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \sin\tfrac{\pi}{2}=1, \cos^{2}\tfrac{\pi}{2}=0. Então \vec{f}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(1,2).
  • Para t=\pi: \sin\pi=0, \vec{f}(\pi)=(0,3).
    Esses pontos confirmam que a partícula vai de (-1,2) a (1,2) passando por (0,3), e depois retorna.

Passo 5

Determino a orientação (direção) com t crescente:
  • Em t\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr] a função \sin t cresce de -1 a 1, então a partícula move-se de (-1,2) para (1,2) passando por (0,3).
  • Em t\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr] a função \sin t decresce de 1 a -1, então a partícula volta de (1,2) para (-1,2).
  • Assim o movimento é oscilatório: a curva é percorrida para frente e para trás periodicamente (com período 2\pi).

Passo 6

Examinação da velocidade (vetor tangente) para entender paradas e reversões:
\vec{f}^{\,\prime}(t)=\bigl(\cos t,\;-2\cos t\sin t\bigr)=\cos t\bigl(1,\;-2\sin t\bigr).
  • Quando \cos t=0 (ou seja t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi) temos \vec{f}^{\,\prime}(t)=\vec{0}. Esses valores correspondem a (1,2) e (-1,2), os extremos onde a partícula para momentaneamente e inverte o sentido.
  • Para outros t a partícula tem velocidade não nula e tangente definida pela expressão acima.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe eixos cartesianos.
  2. Marque x=-1,0,1 no eixo x e y=2,3 no eixo y.
  3. Plote os pontos (-1,2), (0,3) e (1,2).
  4. Trace o arco da parábola y=3-x^{2} que passa por esses pontos (apenas para x\in[-1,1]).
  5. Coloque setas ao longo do arco indicando a direção: de (-1,2) para (1,2) quando t vai de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}, e depois de volta (oscilação).
  6. Opcional: marque os instantes t=-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi junto aos pontos para associar tempo ao desenho.
    Dica: a curva fica presa no retângulo [-1,1]\times[2,3], então não precisa desenhar além disso.

Passo 8

Resumo didático curto para decorar: a eliminação do parâmetro produziu \;y=3-x^{2}\; e a condição x=\sin t restringe x a [-1,1]. Assim a trajetória é o arco da parábola \;y=3-x^{2}\; entre (-1,2) e (1,2), percorrido continuamente para frente e para trás com paradas momentâneas nos extremos.

Resposta

Trajetória: o arco da parábola y=3-x^{2} para x\in[-1,1], ou seja o segmento curvo ligando (-1,2) a (1,2) com vértice em (0,3), percorrido periodicamente (vai de (-1,2) a (1,2) quando t cresce em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e depois volta), com paradas instantâneas em (-1,2) e (1,2).

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