- Teste se as funções abaixo são ou não holomórficas.
Passo 1
O enunciado pede para testar se as duas funções são holomórficas ou não. As funções dadas (em termos de
e
) são:
Lista explícita das informações que temos:
- Para cada função podemos identificar a parte real
e a parte imaginária . - As funções são polinomiais em
e , logo todas as derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas em todo o plano . - A tarefa é decidir, ponto a ponto (ou globalmente), se cada função é holomórfica como função de
.
Passo 2
Breve explicação didática sobre o que é ser holomórfica e a condição que usaremos.
- Uma função
de variável complexa é holomórfica em um ponto se é complexamente diferenciável nesse ponto (derivada complexa existe como limite). - Uma ferramenta prática para verificar isso é o sistema de equações de Cauchy–Riemann: se escrevemos
com reais, então as equações de Cauchy–Riemann são
- Além disso, se as derivadas parciais
existirem e forem contínuas numa vizinhança do ponto e satisfizerem as equações de Cauchy–Riemann, então é holomórfica nessa vizinhança. Como aqui as funções são polinomiais, as derivadas parciais são contínuas em todo o plano; portanto basta verificar as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso de
. Identifico as partes real e imaginária:
Agora calculo as derivadas parciais (faço passo a passo, sem pular etapas):
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Verifico as equações de Cauchy–Riemann para
:
- Comparando
e :
logo
é satisfeita para todo
.
- Comparando
e :
logo
também é satisfeita para todo
.
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo
e as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo ponto, concluímos que
é holomórfica em todo o plano (ou seja, é inteira).
Observação alternativa (muito útil na prova): podemos reconhecer diretamente
como um polinômio em
. Tomando
e calculando
então
que é exatamente
. Polinômios em
são holomórficos (inteiros), então isso confirma a conclusão de forma mais direta. Essa observação é prática: quando a parte real/imaginar coincidem com a expansão de um polinômio em
, não é preciso checar CR.
Passo 5
Agora aplico o mesmo procedimento a
. Identifico
Calculo as derivadas parciais (novamente passo a passo):
- Derivadas de
:
- Derivadas de
(já calculadas antes, pois é igual à do caso ):
Passo 6
Verifico as equações de Cauchy–Riemann para
:
- Comparando
e :
Para que
fosse satisfeita, seria necessário
, o que é impossível. Portanto a primeira equação de Cauchy–Riemann falha em todo ponto do plano; não existe
que satisfaça essa igualdade. Consequentemente
não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto e, como as derivadas parciais são contínuas, concluímos que
não é holomórfica em nenhum ponto (isto é, não é diferenciável como função complexa em nenhum
).
Passo 7
Complemento didático rápido (para fixar a ideia):
- Exemplo simples:
. Escrevendo obtemos . As derivadas são , e checando e vemos que as equações se cumprem sempre; portanto é holomórfica (claro, é um polinômio). - Regra prática para provas: quando a parte real e imaginária vêm de um polinômio em
que coincide com a expansão de uma expressão em (como ou combinações), use diretamente isso; se não aparecer tal forma, calcule as derivadas e verifique as equações de Cauchy–Riemann.