1. Teste se as funções abaixo são ou não holomórficas.
\begin{aligned} & f(x, y)=\left(x^{3}-3 x y^{2}-x\right)+i\left(3 x^{2} y-y^{3}-y\right) \\ & g(x, y)=\left(x^{3}-3 x y^{2}+x\right)+i\left(3 x^{2} y-y^{3}-y\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para testar se as duas funções são holomórficas ou não. As funções dadas (em termos de x e y) são:
f(x,y)=\left(x^{3}-3 x y^{2}-x\right)+i\left(3 x^{2} y-y^{3}-y\right)
g(x,y)=\left(x^{3}-3 x y^{2}+x\right)+i\left(3 x^{2} y-y^{3}-y\right)
Lista explícita das informações que temos:
  • Para cada função podemos identificar a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y).
  • As funções são polinomiais em x e y, logo todas as derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas em todo o plano \mathbb{R}^2.
  • A tarefa é decidir, ponto a ponto (ou globalmente), se cada função é holomórfica como função de z=x+iy.

Passo 2

Breve explicação didática sobre o que é ser holomórfica e a condição que usaremos.
  • Uma função F de variável complexa z=x+iy é holomórfica em um ponto se é complexamente diferenciável nesse ponto (derivada complexa existe como limite).
  • Uma ferramenta prática para verificar isso é o sistema de equações de Cauchy–Riemann: se escrevemos F(x,y)=u(x,y)+i v(x,y) com u,v reais, então as equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
  • Além disso, se as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existirem e forem contínuas numa vizinhança do ponto e satisfizerem as equações de Cauchy–Riemann, então F é holomórfica nessa vizinhança. Como aqui as funções são polinomiais, as derivadas parciais são contínuas em todo o plano; portanto basta verificar as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso de f. Identifico as partes real e imaginária:
u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}-x,\qquad v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}-y.
Agora calculo as derivadas parciais (faço passo a passo, sem pular etapas):
  • Derivada parcial de u em relação a x:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(3xy^{2}\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(x\big) = 3x^{2} - 3y^{2} - 1.
  • Derivada parcial de u em relação a y:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(3xy^{2}\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(x\big) = 0 - 6xy - 0 = -6xy.
  • Derivada parcial de v em relação a x:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(y^{3}\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(y\big) = 6xy - 0 - 0 = 6xy.
  • Derivada parcial de v em relação a y:
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(y\big) = 3x^{2} - 3y^{2} - 1.

Passo 4

Verifico as equações de Cauchy–Riemann para f:
  • Comparando u_x e v_y:
u_x = 3x^{2}-3y^{2}-1,\qquad v_y = 3x^{2}-3y^{2}-1,
logo u_x = v_y é satisfeita para todo (x,y).
  • Comparando u_y e -v_x:
u_y = -6xy,\qquad -v_x = -6xy,
logo u_y = -v_x também é satisfeita para todo (x,y).
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2 e as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo ponto, concluímos que f é holomórfica em todo o plano (ou seja, é inteira).
Observação alternativa (muito útil na prova): podemos reconhecer diretamente f como um polinômio em z. Tomando z=x+iy e calculando
z^{3} = (x+iy)^{3} = x^{3}-3xy^{2} + i(3x^{2}y - y^{3}),
então
z^{3}-z = \big(x^{3}-3xy^{2}-x\big) + i\big(3x^{2}y - y^{3}-y\big),
que é exatamente f. Polinômios em z são holomórficos (inteiros), então isso confirma a conclusão de forma mais direta. Essa observação é prática: quando a parte real/imaginar coincidem com a expansão de um polinômio em z, não é preciso checar CR.

Passo 5

Agora aplico o mesmo procedimento a g. Identifico
u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}+x,\qquad v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}-y.
Calculo as derivadas parciais (novamente passo a passo):
  • Derivadas de u:
u_x = 3x^{2}-3y^{2}+1,\qquad u_y = -6xy.
  • Derivadas de v (já calculadas antes, pois v é igual à do caso f):
v_x = 6xy,\qquad v_y = 3x^{2}-3y^{2}-1.

Passo 6

Verifico as equações de Cauchy–Riemann para g:
  • Comparando u_x e v_y:
u_x = 3x^{2}-3y^{2}+1,\qquad v_y = 3x^{2}-3y^{2}-1.
Para que u_x = v_y fosse satisfeita, seria necessário 1 = -1, o que é impossível. Portanto a primeira equação de Cauchy–Riemann falha em todo ponto do plano; não existe (x,y) que satisfaça essa igualdade. Consequentemente g não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto e, como as derivadas parciais são contínuas, concluímos que g não é holomórfica em nenhum ponto (isto é, não é diferenciável como função complexa em nenhum z).

Passo 7

Complemento didático rápido (para fixar a ideia):
  • Exemplo simples: h(z)=z^{2}. Escrevendo z=x+iy obtemos h(x,y)= (x^{2}-y^{2}) + i(2xy). As derivadas são u_x=2x,\\ u_y=-2y,\\ v_x=2y,\\ v_y=2x, e checando u_x=v_y e u_y=-v_x vemos que as equações se cumprem sempre; portanto z^{2} é holomórfica (claro, é um polinômio).
  • Regra prática para provas: quando a parte real e imaginária vêm de um polinômio em x,y que coincide com a expansão de uma expressão em z (como z^{n} ou combinações), use diretamente isso; se não aparecer tal forma, calcule as derivadas e verifique as equações de Cauchy–Riemann.

Resposta

f é holomórfica em todo o plano (inteira).
g não é holomórfica em nenhum ponto do plano.

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