Esboce cada região
do plano
descrita a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe a região
.
O conteúdo aqui é estudo de seções cônicas, em particular hipérboles. Vamos identificar primeiro a curva limite , depois achar suas assíntotas e por fim determinar qual parte do plano satisfaz a desigualdade.
O conteúdo aqui é estudo de seções cônicas, em particular hipérboles. Vamos identificar primeiro a curva limite
Passo 2
A curva limite
é uma hipérbole centrada na origem, com eixos principais ao longo de
e
. Os vértices ficam em
, e os eixos conjugados possuem semieixo
.
Passo 3
As assíntotas dessa hipérbole são obtidas fazendo
, ou seja
Elas guiam o formato das duas “ramificações” da hipérbole que se aproximam dessas retas.
Passo 4
Para decidir de que lado da curva
devemos sombrear, basta testar um ponto. Por exemplo,
dá
logo
pertence à região
. Como
está à direita da curva, concluímos que a parte externa à hipérbole, no ramo direito, também satisfaz a desigualdade. Pelo mesmo raciocínio no ponto
vemos que o ramo esquerdo externo também entra em
.
Passo 5
Em termos de inequações, a condição
pode ser reescrita como
Isso manifesta que a região é a união de
Passo 6
No esboço, primeiro trace a hipérbole
com vértices em
e
e assíntotas
. Em seguida, sombreie as duas “folhas” exteriores a essa curva: uma à direita da ramificação que passa por
e outra à esquerda da ramificação que passa por
. Não sombreie a região interna entre as duas folhas.
Resposta
A região
é constituída pelas regiões externas aos dois ramos da hipérbole
, isto é
No esboço, desenhe a hipérbole com assíntotas
e sombreie as duas partes exteriores.