Esboce cada região R do plano R^2 descrita a seguir:
R=(x, y) in R^2 ; x^2-y^2 >= 1

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe a região
R=(x,y)inR^2 mid x^2 - y^2 >= 1.
O conteúdo aqui é estudo de seções cônicas, em particular hipérboles. Vamos identificar primeiro a curva limite x^2 - y^2 = 1, depois achar suas assíntotas e por fim determinar qual parte do plano satisfaz a desigualdade.

Passo 2

A curva limite
x^2 - y^2 = 1
é uma hipérbole centrada na origem, com eixos principais ao longo de x e y. Os vértices ficam em (pm1,0), e os eixos conjugados possuem semieixo b=1.

Passo 3

As assíntotas dessa hipérbole são obtidas fazendo x^2 - y^2=0, ou seja
y = pm x
Elas guiam o formato das duas “ramificações” da hipérbole que se aproximam dessas retas.

Passo 4

Para decidir de que lado da curva x^2 - y^2 = 1 devemos sombrear, basta testar um ponto. Por exemplo, (x,y)=(2,0)
2^2 - 0^2 = 4 >= 1,
logo (2,0) pertence à região R. Como (2,0) está à direita da curva, concluímos que a parte externa à hipérbole, no ramo direito, também satisfaz a desigualdade. Pelo mesmo raciocínio no ponto (-2,0) vemos que o ramo esquerdo externo também entra em R.

Passo 5

Em termos de inequações, a condição x^2 - y^2 >= 1 pode ser reescrita como
x^2 >= y^2 + 1 Longrightarrow |x| >= raizy^2 + 1
Isso manifesta que a região é a união de
(x,y)mid x >= raizy^2+1 e (x,y)mid x <= -raizy^2+1

Passo 6

No esboço, primeiro trace a hipérbole x^2 - y^2 = 1 com vértices em (1,0) e (-1,0) e assíntotas y=pm x. Em seguida, sombreie as duas “folhas” exteriores a essa curva: uma à direita da ramificação que passa por (1,0) e outra à esquerda da ramificação que passa por (-1,0). Não sombreie a região interna entre as duas folhas.

Resposta

A região R é constituída pelas regiões externas aos dois ramos da hipérbole
,x^2 - y^2 = 1, isto é
R =(x,y)mid x>=raizy^2+1 ;cup; (x,y)mid x<=-raizy^2+1
No esboço, desenhe a hipérbole com assíntotas y=pm x e sombreie as duas partes exteriores.

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