Problema 38 Sendo x=raiz[3]3625 o log 10 x é igual a:
a) 23 log 10 2+23 log 10 3+2;
b) 23 log 10 2+83 log 10 3+2;
c) 23 log 10 2+83 log 10 3-2
d) 83 log 10 2+23 log 10 3-2;
e) 83 log 10 2+23 log 10 3+2.

Passo 1

O enunciado dá
x = raiz[3]3625
e pede log10x.
Vamos usar as propriedades de logaritmo:
log10l(tfracABr)=log10A-log10B
log10l(A^nr)=n,log10A

Passo 2

Aplicando a propriedade da divisão:
log10x = log10l(raiz[3]36r);-;log10(25)

Passo 3

Trate raiz[3]36=36^1/3 e use a fatoração 36=2^2cdot3^2:
log10l(raiz[3]36r) = tfrac13,log10(36) = tfrac13l(2log102 + 2log103r) = tfrac23log102 + tfrac23log103

Passo 4

Calcule log10(25)=log10(5^2)=2log105.
Para eliminar log105, escreva 5=10/2:
log105 = log10(10) - log102 = 1 - log102,
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log10(25) = 2l(1 - log102r) = 2 - 2log102,
e então
-log10(25) = -2 + 2log102

Passo 5

Juntando tudo:
log10x = l(tfrac23log102 + tfrac23log103r) + l(-2 + 2log102r) = tfrac23log103 + l(tfrac23+2r)log102 -2 = tfrac23log103 + tfrac83log102 -2
Isso coincide com a alternativa (d).

Resposta

(d) 83log102 + 23log103 -2

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