Verifique que a função f(x, y, z)=x^2+y^2-z^2x^2+y^2+x^2 não tem limite na origem.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2x^2+y^2+z^2 não tem limite na origem. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos precisar usar o conceito de limites por caminhos diferentes para mostrar que o valor depende da trajetória de chegada.

Passo 2

Uma forma simples é avaliar f ao longo da reta no plano z=0. Ou seja, tomar o caminho (x,y,z)=(t,0,0) quando tto 0. Ao substituir na definição de f temos:
f(t,0,0)=t^2+0^2-0^2t^2+0^2+0^2=t^2t^2=1

Passo 3

Agora avaliamos f ao longo do eixo z, isto é, o caminho (x,y,z)=(0,0,t) quando tto 0. Substituindo na função:
f(0,0,t)=0^2+0^2-t^20^2+0^2+t^2=-t^2t^2=-1

Passo 4

Como o limite ao longo de z=0 deu 1 e ao longo do eixo z deu -1, o valor de f(x,y,z) depende do caminho. Isso mostra que o limite na origem não existe.

Resposta

O limite não existe.

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