Esboce o sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano z=x+4 e calcule o volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0), é limitado lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=4 e superiormente pelo plano z=x+4. Para resolver, vamos usar a definição de volume via integral tripla e coordenadas cilíndricas, que simplificam a região circular no plano xy.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o volume seria
V=integralx=0^2integraly=0^raiz4-x^2integralz=0^,x+4dz,dy,dx
Porém, a simetria circular sugere usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Na projeção sobre o plano xy, (x,y) percorre o quarto de disco de raio 2:
0<= r<= 2, 0<=theta<=pi2
Para cada (r,theta), z varia de 0 até x+4 = rcostheta + 4. Logo,
V = integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=0^,rcostheta+4 r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^rcostheta+4r,dz = rl(rcostheta+4r)
Então
V = integral0^pi/2integral0^2l(r^2costheta + 4rr),dr,dtheta
Agora integramos em r:
integral0^2r^2costheta,dr = 83costheta, integral0^24r,dr = 8
Portanto
V = integral0^pi/2l(83costheta + 8r),dtheta

Passo 5

Integramos em theta:
integral0^pi/283costheta,dtheta = 83, integral0^pi/28,dtheta = 4pi
Somando,
V = 83 + 4pi

Resposta

V = 4pi + 83

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