Esboce o sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados, pelo cilindro
e pelo plano
e calcule o volume.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante (
,
,
), é limitado lateralmente pelo cilindro
e superiormente pelo plano
. Para resolver, vamos usar a definição de volume via integral tripla e coordenadas cilíndricas, que simplificam a região circular no plano
.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, o volume seria
Porém, a simetria circular sugere usar coordenadas cilíndricas
, em que
Passo 3
Na projeção sobre o plano
,
percorre o quarto de disco de raio
:
Para cada
,
varia de
até
. Logo,
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então
Agora integramos em
:
Portanto
Passo 5
Integramos em
:
Somando,