Esboce o campo de direções da EDO y^prime=x e esboce o gráfico da solução passando pelo ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado nos pede duas coisas: (1) esboçar o campo de direções da equação diferencial de primeira ordem
y' = x
e (2) encontrar e esboçar a solução particular que passa por (0,0).
O conteúdo envolve entendimento de campo de direções (ou campo de declives) e integração de uma EDO simples.

Passo 2

Para desenhar o campo de direções, em cada ponto (x,y) do plano atribuímos um pequeno segmento de reta cuja inclinação (declive) é
y' = x
Note que essa inclinação não depende de y, apenas de x. Logo, em qualquer linha vertical x=constante todos os segmentos têm o mesmo declive.

Passo 3

Para o esboço qualitativo basta escolher alguns valores de x e desenhar segmentos com esses declives:
– Em x=-2 cada segmento tem inclinação -2 (bem declinado para baixo).
– Em x=-1 cada segmento tem inclinação -1.
– Em x=0 cada segmento é horizontal (inclinação 0).
– Em x=1 cada segmento tem inclinação 1.
– Em x=2 cada segmento tem inclinação 2 (bem inclinado para cima).
Repetimos isso para várias faixas de x e para vários valores de y, obtendo um “feixe” de retas que fica mais inclinado para cima quando x>0 e para baixo quando x<0.

Passo 4

Para encontrar a solução geral da EDO integramos
dydx = x
em relação a x. Assim,
y(x) = integral x,dx = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=0, obtemos
0 = 0^22 + C ;Longrightarrow; C=0
Portanto, a solução particular é
y(x) = x^22
O gráfico dessa curva é uma parábola com vértice na origem, concavidade voltada para cima, e toca o campo de direções tangencialmente ao longo de todo o feixe.

Resposta

O campo de direções consiste em retas de inclinação x em cada ponto (x,y). A solução que passa por (0,0) é a parábola
y = x^22,
que se posiciona de forma tangente ao campo de direções.

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