Esboce o campo de direções da EDO
e esboce o gráfico da solução passando pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado nos pede duas coisas: (1) esboçar o campo de direções da equação diferencial de primeira ordem
e (2) encontrar e esboçar a solução particular que passa por
.
O conteúdo envolve entendimento de campo de direções (ou campo de declives) e integração de uma EDO simples.
O conteúdo envolve entendimento de campo de direções (ou campo de declives) e integração de uma EDO simples.
Passo 2
Para desenhar o campo de direções, em cada ponto
do plano atribuímos um pequeno segmento de reta cuja inclinação (declive) é
Note que essa inclinação não depende de
, apenas de
. Logo, em qualquer linha vertical
todos os segmentos têm o mesmo declive.
Passo 3
Para o esboço qualitativo basta escolher alguns valores de
e desenhar segmentos com esses declives:
– Em cada segmento tem inclinação
(bem declinado para baixo).
– Em cada segmento tem inclinação
.
– Em cada segmento é horizontal (inclinação
).
– Em cada segmento tem inclinação
.
– Em cada segmento tem inclinação
(bem inclinado para cima).
Repetimos isso para várias faixas de e para vários valores de
, obtendo um “feixe” de retas que fica mais inclinado para cima quando
e para baixo quando
.
– Em
– Em
– Em
– Em
– Em
Repetimos isso para várias faixas de
Passo 4
Para encontrar a solução geral da EDO integramos
em relação a
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Impondo a condição inicial
, obtemos
Portanto, a solução particular é
O gráfico dessa curva é uma parábola com vértice na origem, concavidade voltada para cima, e toca o campo de direções tangencialmente ao longo de todo o feixe.
Resposta
O campo de direções consiste em retas de inclinação
em cada ponto
. A solução que passa por
é a parábola
que se posiciona de forma tangente ao campo de direções.