Verifique (utilizando a regra do quociente para derivadas) que
é uma família de soluções da EDO de primeira ordem
, e encontre uma solução do PVI dado pela condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é uma solução para a Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem
usando a regra do quociente. Depois, vamos encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções usando a regra do quociente e entender um pouco sobre EDOs de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
em relação a
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função
, a derivada é
.
Aqui,
e
. Vamos achar
e
:
-
(porque a derivada de uma constante é zero) -
(a derivada de é )
Passo 3
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Vamos agora substituir
e
na EDO para verificar se a igualdade
é válida.
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Comparando
e
que calculamos:
Vemos que
, o que confirma que
é de fato uma solução da EDO.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução da EDO que satisfaz a condição inicial
. Vamos substituir
e
na função
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da EDO que satisfaz a condição inicial
é: