Verifique (utilizando a regra do quociente para derivadas) que y(t)=11+c e^-t é uma família de soluções da EDO de primeira ordem y^prime=y-y^2, e encontre uma solução do PVI dado pela condição inicial y(0)=13.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função y(t) = 11 + c e^-t é uma solução para a Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem y' = y - y^2 usando a regra do quociente. Depois, vamos encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial y(0) = 13 . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções usando a regra do quociente e entender um pouco sobre EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar y(t) em relação a t usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função uv , a derivada é u'v - uv'v^2 .
Aqui, u = 1 e v = 1 + c e^-t . Vamos achar u' e v' :
  • u' = 0 (porque a derivada de uma constante é zero)
  • v' = ddt(1 + c e^-t) = -c e^-t (a derivada de e^-t é -e^-t )

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do quociente:
y' = 0 cdot (1 + c e^-t) - 1 cdot (-c e^-t)(1 + c e^-t)^2 = c e^-t(1 + c e^-t)^2

Passo 4

Vamos agora substituir y e y' na EDO para verificar se a igualdade y' = y - y^2 é válida.
Primeiro, calculamos y - y^2 :
y - y^2 = 11 + c e^-t - ( 11 + c e^-t )^2
= 11 + c e^-t - 1(1 + c e^-t)^2
= (1 + c e^-t) - 1(1 + c e^-t)^2
= c e^-t(1 + c e^-t)^2

Passo 5

Comparando y' e y - y^2 que calculamos:
y' = c e^-t(1 + c e^-t)^2
y - y^2 = c e^-t(1 + c e^-t)^2
Vemos que y' = y - y^2 , o que confirma que y(t) = 11 + c e^-t é de fato uma solução da EDO.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução da EDO que satisfaz a condição inicial y(0) = 13 . Vamos substituir t = 0 e y = 13 na função y(t) :
13 = 11 + c e^0 = 11 + c

Passo 7

Resolvendo para c :
1 + c = 3 implies c = 2

Resposta

A solução da EDO que satisfaz a condição inicial y(0) = 13 é:
y(t) = 11 + 2 e^-t

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