QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
z=x^4+y^4+3 x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função z = x^4 + y^4 + 3x^2y^3 e precisa encontrar o vetor gradiente nesse ponto específico, que é (1,1). O gradiente é tipo uma “seta” que mostra a direção de maior aumento da função. Para isso, vamos usar derivadas parciais, que ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x , que é representada por partial zpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x .
Então, derivando:
partial zpartial x = partialpartial x(x^4 + y^4 + 3x^2y^3) = 4x^3 + 0 + 6xy^3 = 4x^3 + 6xy^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y , representada por partial zpartial y . Aqui, tratamos x como constante e derivamos em relação a y .
Derivando:
partial zpartial y = partialpartial y(x^4 + y^4 + 3x^2y^3) = 0 + 4y^3 + 9x^2y^2 = 4y^3 + 9x^2y^2

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar elas no ponto (1,1). Ou seja, substituímos x = 1 e y = 1 nas expressões que encontramos.
Para partial zpartial x :
4(1)^3 + 6(1)(1)^3 = 4 + 6 = 10
Para partial zpartial y :
4(1)^3 + 9(1)^2(1)^2 = 4 + 9 = 13

Resposta

O vetor gradiente no ponto (1,1) é nabla z = (10, 13) .

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