Verifique se
é uma família de soluções da EDO de segunda ordem
e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é uma solução geral da equação diferencial de segunda ordem
. Além disso, se for uma solução, precisamos encontrar uma solução específica que satisfaça as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como aplicar condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente resolve a equação diferencial
. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação diferencial:
Vimos que a soma resulta em zero, o que confirma que
é de fato uma solução da equação diferencial
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
e
que satisfazem as condições iniciais
e
.
Primeiro, substituímos
em
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, usamos a condição
. Substituímos
em
:
Com
e
:
Resposta
A solução do PVI é: