Verifique se y(t)=c1 cos (t)+c2 sen(t) é uma família de soluções da EDO de segunda ordem y^prime prime+y=0 e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais y(pi2)=0 e y^prime(pi2)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função y(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) é uma solução geral da equação diferencial de segunda ordem y'' + y = 0 . Além disso, se for uma solução, precisamos encontrar uma solução específica que satisfaça as condições iniciais y(pi2) = 0 e y'(pi2) = 1 . Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como aplicar condições iniciais para determinar as constantes c1 e c2 .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se y(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) realmente resolve a equação diferencial y'' + y = 0 . Para isso, precisamos calcular as derivadas de y(t) .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de y(t) :
y'(t) = -c1 sin(t) + c2 cos(t)

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de y(t) :
y''(t) = -c1 cos(t) - c2 sin(t)

Passo 5

Substituímos y''(t) e y(t) na equação diferencial:
y''(t) + y(t) = (-c1 cos(t) - c2 sin(t)) + (c1 cos(t) + c2 sin(t)) = 0
Vimos que a soma resulta em zero, o que confirma que y(t) é de fato uma solução da equação diferencial y'' + y = 0 .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de c1 e c2 que satisfazem as condições iniciais y(pi2) = 0 e y'(pi2) = 1 .
Primeiro, substituímos t = pi2 em y(t) :
0 = c1 cos(pi2) + c2 sin(pi2)
Sabemos que cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1 , então:
0 = c1 cdot 0 + c2 cdot 1 Rightarrow c2 = 0

Passo 7

Agora, usamos a condição y'(pi2) = 1 . Substituímos t = pi2 em y'(t) :
1 = -c1 sin(pi2) + c2 cos(pi2)
Com sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0 :
1 = -c1 cdot 1 + c2 cdot 0 Rightarrow -c1 = 1 Rightarrow c1 = -1

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = -cos(t)

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