y^{\prime}\left(\underline{I}_{2}\right)=1. 7. Verifique se y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} é uma família de soluções da EDO de segunda ordem y^{\prime \prime} -y=0 e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais y(0)=1 e
y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara):
  • É dada a família de funções \;y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}, onde \;c_{1} e \;c_{2} são constantes reais arbitrárias.
  • É dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-y=0.
  • Pede-se:
    1. Verificar se a família \;y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} satisfaz a EDO \;y''-y=0.
    2. Se for solução, encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI) com as condições
    y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
  • Observações sobre os dados: \;c_{1} e \;c_{2} são constantes arbitrárias (ou seja, a família representa uma combinação linear de duas funções). Não há imagens a analisar.

Passo 2

Derivar a família para aplicar na EDO (passo a passo e explicando as regras de derivação).
  • Regra usada: \emph{derivada de e^{ax} é a e^{ax}}. Aqui a=\pm1.
  • Começando de y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}, calculam-se as derivadas:
y'(x)=c_{1}\,e^{x}+c_{2}\cdot(-1)\,e^{-x}=c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x},
y''(x)=c_{1}\,e^{x}-c_{2}\cdot(-1)\,e^{-x}=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}.
Explicando: ao derivar c_{1}e^{x} mantém-se o c_{1} e vem e^{x}; ao derivar c_{2}e^{-x} usa-se a regra da cadeia e aparece um fator -1.

Passo 3

Substituir y e y'' na EDO e verificar se obtém-se 0.
  • Substituição na expressão y''-y:
y''-y=\bigl(c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}\bigr)-\bigl(c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}\bigr)=0.
  • Conclusão: a diferença é identicamente zero para quaisquer valores de \;c_{1} e \;c_{2}. Portanto \;y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} é, de fato, uma família de soluções da EDO \;y''-y=0.

Passo 4

Por que essa família é a solução geral (breve aula sobre independência linear e solução geral).
  • Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se existem duas soluções linearmente independentes y_{1} e y_{2}, então a combinação linear c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} é a solução geral.
  • Verificação de independência das funções y_{1}=e^{x} e y_{2}=e^{-x} pelo Wronskiano:
W(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x}\\[4pt] e^{x} & -e^{-x} \end{vmatrix}=e^{x}\cdot(-e^{-x})-e^{-x}\cdot e^{x}=-1-1=-2.
  • Como W(x)=-2\neq0 (constante não nula), as duas funções são linearmente independentes e, portanto, a família c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} é a solução geral da EDO.]

Passo 5

Aplicar as condições iniciais: escrever as equações para \;c_{1} e \;c_{2}.
  • Avaliar y e y' em x=0. Lembrando que e^{0}=1.
y(0)=c_{1}e^{0}+c_{2}e^{0}=c_{1}+c_{2}=1,
y'(0)=c_{1}e^{0}-c_{2}e^{0}=c_{1}-c_{2}=2.
  • Assim obtemos o sistema linear para \;c_{1},c_{2}:
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=1,\\[4pt] c_{1}-c_{2}=2. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema linear (passo a passo, sem pular contas).
  • Somando as duas equações:
(c_{1}+c_{2})+(c_{1}-c_{2})=1+2 \quad\Rightarrow\quad 2c_{1}=3 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=\tfrac{3}{2}.
  • Substituindo em c_{1}+c_{2}=1:
\tfrac{3}{2}+c_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Escrever a solução particular do PVI e checar rapidamente as condições iniciais.
  • Substituindo os valores de \;c_{1} e \;c_{2} na solução geral:
y(x)=\tfrac{3}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{-x}.
  • Checagem rápida: y(0)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}=1 e y'(x)=\tfrac{3}{2}e^{x}+\tfrac{1}{2}e^{-x} (ou calculando com a fórmula y'(x)=c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}) dá y'(0)=\tfrac{3}{2}-(-\tfrac{1}{2})=2, portanto as condições são satisfeitas.
  • Observação útil (dica de prova/exame): às vezes é mais rápido escrever a solução em termos de funções hiperbólicas:
y(x)=\operatorname{cosh} x+2\operatorname{sinh} x,
porque aqui \operatorname{cosh} x=\tfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} e \operatorname{sinh} x=\tfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}; essa forma é equivalente à encontrada.

Resposta

Sim.
y(x)=\tfrac{3}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{-x}

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