y^{\prime}\left(\underline{I}_{2}\right)=1. 7. Verifique se y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} é uma família de soluções da EDO de segunda ordem y^{\prime \prime} -y=0 e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais y(0)=1 e
y^{\prime}(0)=2
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (lista clara):
É dada a família de funções \;y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}, onde \;c_{1} e \;c_{2} são constantes reais arbitrárias.
É dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-y=0.
Pede-se:
Verificar se a família \;y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} satisfaz a EDO \;y''-y=0.
Se for solução, encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI) com as condições
y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
Observações sobre os dados: \;c_{1} e \;c_{2} são constantes arbitrárias (ou seja, a família representa uma combinação linear de duas funções). Não há imagens a analisar.
Passo 2
Derivar a família para aplicar na EDO (passo a passo e explicando as regras de derivação).
Regra usada: \emph{derivada de e^{ax} é a e^{ax}}. Aqui a=\pm1.
Começando de y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}, calculam-se as derivadas:
Conclusão: a diferença é identicamente zero para quaisquer valores de \;c_{1} e \;c_{2}. Portanto \;y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} é, de fato, uma família de soluções da EDO \;y''-y=0.
Passo 4
Por que essa família é a solução geral (breve aula sobre independência linear e solução geral).
Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se existem duas soluções linearmente independentes y_{1} e y_{2}, então a combinação linear c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} é a solução geral.
Verificação de independência das funções y_{1}=e^{x} e y_{2}=e^{-x} pelo Wronskiano:
Como W(x)=-2\neq0 (constante não nula), as duas funções são linearmente independentes e, portanto, a família c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} é a solução geral da EDO.]
Passo 5
Aplicar as condições iniciais: escrever as equações para \;c_{1} e \;c_{2}.
Avaliar y e y' em x=0. Lembrando que e^{0}=1.
y(0)=c_{1}e^{0}+c_{2}e^{0}=c_{1}+c_{2}=1,
y'(0)=c_{1}e^{0}-c_{2}e^{0}=c_{1}-c_{2}=2.
Assim obtemos o sistema linear para \;c_{1},c_{2}:
Escrever a solução particular do PVI e checar rapidamente as condições iniciais.
Substituindo os valores de \;c_{1} e \;c_{2} na solução geral:
y(x)=\tfrac{3}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{-x}.
Checagem rápida: y(0)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}=1 e y'(x)=\tfrac{3}{2}e^{x}+\tfrac{1}{2}e^{-x} (ou calculando com a fórmula y'(x)=c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}) dá y'(0)=\tfrac{3}{2}-(-\tfrac{1}{2})=2, portanto as condições são satisfeitas.
Observação útil (dica de prova/exame): às vezes é mais rápido escrever a solução em termos de funções hiperbólicas: